Matematyka zadania

Wielomiany

 Zadanie 1.

Rozłóż na czynniki wielomian.

W(x)=x^{4}-x^{3}-2x^{2}

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 2.

Liczba - 2 jest pierwiastkiem wielomiany W(x)=-x^{3}+2x^{2}-ax-4 Wynika stąd że:

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 3.

Wyznacz współczynniki b i c wielomianu W(x)=x^{3}-7x^{2}+bx+c, jeżeli ma on trzy pierwiastki, które są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego o ilorazie q=2.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 4.

Wyznacz współczynniki b i c wielomianu W(x)=x^{3}+3x^{2}+bx+c, jeżeli ma on trzy pierwiastki, które są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego o różnicy 1.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 5.

Funkcja W jest określona wzorem W(x)=2015(x-2)^{2015}-1. Wartość tej funkcji dla argumentu 1 jest równa?

A.-2016
B.2014
C.2015
D.4030

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 6.

Rozwiąż równania:

a) x^{3}+x^{2}+|x+1|=0
b) x^{3}-3x^{2}-|5x-15|=0
c) x^{4}-2x^{2}-|x^{2}-2|=0
d) x^{4}+3-|3x^{3}+x|=0

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 7.

Rozwiąż nierówności:

a) x^{3}+|x|\le0
b) |x^{4}-1|<3x^{2}+3
c) x^{3}\le|x+2|
d) |x^{2}-3|<x^{3}-3x

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 8.

Wielomian W(x)=6x^{3}+3x^{2}-5x+p jest podzielny przez dwumian x-1 dla p równego

A. 4
B. -2
C. 2
D. -4

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 9.

Wykaż, że liczba 1 jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu W(x)=2x^{4}-4x^{3}+5x^{2}-6x+3

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 10.

Wielomian W(x)=x^{3}+ax^{2}+bx+c jest podzielny przez dwumian x+1, a jego wykres jest symetryczny, względem punktu (0,0). Wyznaczyć a, b, c i rozwiązać nierówności.
(x-1)W(x+2)-(x-2)W(x+1)\le0

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 11.

Dla jakiego parametru p, wielomian W(x)=x^{3}+px^{2}+11x-6 ma trzy pierwiastki, z których jeden jest średnią arytmetyczną pozostałych? Znajdź wielomian o powyższej własności, którego wszystkie pierwiastki są wymierne.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 12.

Podaj przykład wielomianu jednej zmiennej rzeczywistej x, który jest stopnia piątego i ma tylko trzy wyrazy różne od zera. Uporządkuj ten wielomian malejąco.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 13.

Wielomian W(x)=-8x^{6}+8x^{4}-14x^{2}+6 podzielono przez wielomian Q(x)=4x^{4}-2x^{2}+6. Wielomian P(x) jest wynikiem tego dzielenia. Wyznacz wielomian P(x).

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 14.

Pierwiastkami jednokrotnymi wielomianu trzeciego stopnia P(x) są liczby 2, 3 oraz -1. Wyznacz pierwiastki wielomianu W(x)=(x+1)\cdot{}P(x). Czy ten wielomian ma pierwiastki dwukrotne? Jeśli tak to jakie?

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 15.

W zjeździe koleżeńskim uczestniczyło n osób. Na powitanie każdy z każdym wymienił uścisk dłoni. Ile osób brało udział w zjeździe, jeżeli nastąpiło 45 powitań?

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 16.

Pole trapezu równoramiennego jest równe 220 cm^{2}.
Podstawy trapezu i jego wysokość zapisano w postaci wyrażeń algebraicznych, jak na rysunku obok.
Oblicz długości boków trapezu.

Pole trapezu równoramiennego jest równe 220. Oblicz długości boków trapezu.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 17.

W trójkącie prostokątnym ABC z wierzchołka C kąta prostego poprowadzono wysokość h na przeciwprostokątną c (rysunek w załączniku). Spodek wysokości D podzielił przeciwprostokątną na odcinki p i q.
a) Wykaż, że długość wysokości h jest średnią geometryczna długości odcinków p i q, czyli h=\sqrt{( p\cdot{}q)}.
b) Oblicz pole trójkąta ABC, gdy dane są p=16 cm i q=25 cm.

Wykaż, że długość wysokości h jest średnią geometryczna odcinków p i q

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 18.

Dla jakich wartości parametrów a i b wielomian:

a) W(x)=2x^{4}+ax^{3}-bx^{2}+2x-2
b) P(x)= x^{4}-5x^{3}+9x^{2}+ax+b

jest podzielny przez x^{2}-x-2?
Wyznacz pierwiastki wielomianu.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 19.

Najmniejszą z liczb spełniającą równanie 4x^{3}+5x^{2}+x=0 jest.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 20.

Liczby 1 i -3 są jedynymi pierwiastkami równania.

A. x^{3}+2x^{2}=3x
B. x^{3}+3x^{2}-x-3=0
c. (x-1)^{2}(x^{2}+6x+9)=0
D. (x+1)(x^{2}-6x+9)=0

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 21.

Rozwiąż równanie 9x^3+18x^2-4x-8=0.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 22.

Wielomian W=x^{3}-2x^{2}+4x-8 po rozłożeniu na czynniki ma postać:

A. W=(x-2)^{2}(x+2)
B. W=(x-2)(x^{2}+4)
C. W=(x-2)(x+2)^{2}
D. W=(x+2)(x^{2}+4)

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 23.

Liczby -3 i 3 są miejscami zerowymi wielomianu W(x)=a^{3}+bx^{2}+9x-27. Oblicz a i b, zapisz wielomian w postaci iloczynowej i określ, ile rozwiązań ma równanie W(x)=0.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 24.

Rozłóż wielomian W(x)=(x-1)(x+1)(x+3)-3x-9 na czynniki liniowe i wyznacz jego pierwiastki.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 25.

Reszta z dzielenia wielomianu P(x) przez (x-1) wynosi 4, zaś przez (x+2) wynosi 1. Oblicz resztę z dzielenia tego wielomianu przez (x-1)(x+2).

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 26.

Liczby x_{1}, x_{2}, x_{3} gdzie x_{1}<x_{2}<x_{3}, są pierwiastkami wielomianu w(x)=x^{3}-6x+4. Oblicz \frac{x_{2}}{x_{3}}. Zakoduj trzy pierwsze cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego obliczonego ilorazu.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 27.

Oblicz sumę pierwiastków równania (x^{2}-7)(14x^{3}-13x^{2}-12x)=0. Zakoduj trzy pierwsze cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego wyznaczonej liczby.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 28.

Wielomian W(x)=x^{4}+2x^{3}-5x^{2}-6px+9 jest podzielny przez dwumian x-1. Oblicz p.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 29.

Wyznacz wartość parametru a, dla której reszta z dzielenia wielomianu:
W(x)=x^{3}-37ax+x-\frac{1}{8}a^{2}+3
przez dwumian q(x)=x+2 przyjmuje największą wartość.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 30.

Dany jest wielomian W(x)=6x^{3}-4x^{2}. :iczba a jest resztą z dzielenia wielomianu przez dwumian x+3, a liczba b jest resztą z dzielenia tego wielomianu przez x-2.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 31.

Liczba S jest sumą wszystkich liczb całkowitych spełniających nierówność:
(x^{2}-6x+5)(x^{2}-60x+500)\le0

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 32.

Liczba n jest największą liczbą naturalną, dla której liczba \frac{n}{30\sqrt{2}} należy do zbioru rozwiązań nierówności (x^{2}-4)(x^{2}+8x+12)<0.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 33.

Dla jakich wartości x liczba x^{3}+x^{2}+x jest nie mniejsza od liczby 3x^{2}+3x+3?

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 34.

Jednym z pierwiastków wielomianu W(x)=(m-1)x^{3}+x^{2}-3mx-m jest liczba 2, Wyznacz wartość parametru m oraz pozostałe pierwiastki wielomianu W.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 35.

Dla jakich wartości parametru m wielomian W(x)=2x^{2}-(m+7)x^{2}+(m^{2}-2m+7)x+6 jest podzielny przez dwumian q(x)=x-m?

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 36.

Dla jakich wartości parametrów m i n liczba 2 jest trzykrotnym pierwiastkiem wielomianu W(x)=x^{4}-5x^{3}+mx^{2}+4x+n?

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 37.

Wyznacz wartość parametru m, dla których równanie (m+1)x^{4}-(m+1)x^{2}+4m=0 ma cztery różne pierwiastki.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 38.

Wielomian W(x)=x^{3}+(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5})x^{2}+(\sqrt{6}+\sqrt{10}+\sqrt{15})x+\sqrt{30} ma trzy pierwiastki rzeczywiste. Oblicz sumę kwadratów pierwiastków tego wielomianu.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 39.

Wykaż, że dla dowolnej wartości parametru p\inR \ {-\frac{1}{2},0} wielomian:
W(x)=px^{3}+x^{2}(p-2)-x(1+2p)
ma trzy pierwiastki rzeczywiste.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 40.

Dla jakich wartości parametru p wielomian W(x)=x^{3}+x^{2}(p+3)+4px ma dokładnie jeden pierwiastek?

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 41.

Wykaż, że dla dowolnych liczb a, b\in R wielomian W(x)=x^{3}-(a-b)x^{2}-2b(a+b)x jest podzielny przez dwumian q(x)=x-a-b

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 42.

Pierwiastkami wielomianu W o współczynnikach całkowitych są liczby -3, -2, -1. Wykaż, że dla dowolnej liczby naturalnej n liczba W(n) jest podzielna przez 6.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 43.

Ile współczynników mają równania \frac{1}{2}x^{3}-8x=0 i x^{2}-2x=8?

A. 0
B. 1
C. 2
D. 3

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 44.

Ile pierwiastków równania x^{3}=\frac{1}{2}x należy do przedziału <-\frac{1}{2};\frac{1}{2}>?

A. 3
B. 2
C. 1
D. 0

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 45.

Jeśli do wykresu funkcji f(x)=\frac{a}{x} należy punkt (\frac{2}{3},9), to liczba punktów o obu współrzędnych całkowitych, które należą do wykresu tej funkcji, jest równa:

A. 4
B. 6
C. 8
D. 12

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 46.

Punkt (x,y) należy do wykresu pewnej proporcjonalności odwrotnej. Oznacza to, że do tego wykresu należy również punkt:

A. (2x,2y),
B. (2x,\frac{1}{2}y),
C. (x^{2},y^{2}),
D. (\frac{1}{x},\frac{1}{y}).

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 47.

Liczba 2 jest pierwiastkiem równania:

A. \frac{x-5}{x-4}=\frac{x+1}{x}
B. \frac{x+1}{x}=\frac{x+3}{x+1}
C. \frac{x}{x-1}=\frac{x}{2x-1}
D. \frac{x+2}{2x+1}=\frac{2}{x+1}

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 48.

Wszystkie rozwiązania \frac{2-x}{-5}=\frac{3}{x} należą do przedziału:

A. <-6;3>
B. <-3;5>
C. <-1;8>
D. <0;10>

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 49.

Dany jest prostokąt ABCD o sąsiednich bokach długości xcm i 4xcm. Gdyby każdy bok prostokąta wysłużyć o 2cm, to stosunek sąsiednich boków byłby równy 3. Pole prostokąta ABCD jest równe:

A. 16 cm^{2}
B. 40 cm^{2}
C. 64 cm^{2}
D. 108 cm^{2}

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 50.

Mianownik ułamka jest o 3 większy od jego licznika. gdyby licznik i mianownik tego ułamka zmniejszyć o 2, to ułamek ten byłby równy 0,5. Suma licznika i mianownika tego ułamka to:

A. 13
B. 11
C. 9
D. 7

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 51.

Rozwiąż równanie: 2x^{3}-18x=0.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 52.

Dla jakiej wartości a liczba -3 jest pierwiastkiem równania (2a+3)x^{3}-7x+5-a=0?

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 53.

Na rysunku obok przedstawiono wykres proporcjonalności odwrotnej y=\frac{a}{x}. Wyznacz liczbę odwrotnie proporcjonalną do liczby x=\frac{\sqrt{3}}{2}

wykres

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 54.

Wyznacz a, jeśli punkt P(\frac{3}{2},-6) należy do wykresu funkcji f(x)=\frac{a}{x-3}. Czy punkt Q(21,\frac{1}{2}) należy do wykresu tej funkcji?

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 55.

Dana jest funkcja f(x)=\frac{2}{x}. Wykaż, że f(1-\sqrt{2})+f(\frac{1}{\sqrt{2}+1})=0

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 56.

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji f(x)=\frac{4}{x-2}-3. Oblicz miejsce zerowe funkcji f i podaj argumenty, dla których przyjmuje ona wartości nieujemne.

wykres-paraboliczny

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 57.

Wyznacz q, jeśli punkt P(\frac{2}{3},-4) należy do wykresu funkcji f(x)=-\frac{6}{x}+q.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 58.

Rozwiąż równanie \frac{x(x+1)}{x-1}=5x-4 dla x\neq1.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 59.

Równania \frac{1}{4x}=5 i \frac{1}{x}=2m są spełnione przez tę samą liczbę x. Oblicz m.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 60.

Rozwiąż równanie \frac{2-3x}{1-2x}=-\frac{1}{2}.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 61.

Samochód przejechał 8 km drogą polną, z prędkością V, a następnie 32 km szosą, z prędkością V+60 km/h. Oblicz V, jeżeli każdy odcinek drogi przebył w takim samym czasie.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 62.

Dla jakiej wartości parametru m równanie x^{5}+(1-2m)x^{3}+(m^{2}-1)x=0 ma

A. pięć pierwiastków
B. dokładnie trzy pierwiastki
C. tylko jeden pierwiastek

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 63.

Rozwiąż nierówność S-2T\le0, jeśli S=2x^{3}-3x^{2}+2 i T=x^{3}-2x^{2}+x+1.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 64.

Dany jest wielomian W(x)=x^{3}+(3m^{2}-1)x-9m^{2}+20m+4. Wykres tego wielomianu, po przecięciu o wektor u=[-3,0], przechodzi przez początek układu współrzędnych. Wyznacz wszystkie pierwiastki wielomianu W.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 65.

Oblicz, dla jakich wartości a reszta z dzielenia wielomianu W(x)=x^{4}+x^{3}+ax^{2}+2x+12 przez dwumian x-3 jest większa od 27.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 66.

Oblicz, ile jest całkowitych wartości m\in(-2;20), dla których. W(1)>0, jeżeli W(x)=x^{3}+mx^{2}+m^{2}x+m^{3}.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 67.

Udowodnij, że wielomian f(x)-x^{3}+x+3 posiada pierwiastek rzeczywisty. Wyznacz ten pierwiastek z dokładnością do 0,1.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 68.

Suma miejsc zerowych funkcji y=3x(x-1)(x+2) jest równa:

A. -1
B. 1
C. 2
D. 3

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 69.

Jedno z rozwiązań równania x^{3}-(p-2)x+10=0 z niewiadomą x jest liczbą pierwszą. Jeśli p jest liczbą całkowitą, to

A. p=11
B. p=-9
C. p\in{11,29}
D. p\in{-9,13}

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 70.

Rozwiąż równania:

A. (x^{3}+4)\cdot{}x^{2}-4(x^{3}+4)
B. x^{2}(x^{7}+1)+5x(x^{7}+1)+4(x^{7}+1)=0

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 71.

Wielomian W(x)=x^{3}+ax^{2}+bx+c jest podzielny przez dwumian (x-2). Trzy pierwiastki wielomianu W(x) są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego o ilorazie równym 3. Wyznacz wartości współczynników a,b,c jeśli wyraz wolny wielomianu W(x) jest liczbą całkowitą. Rozwiąż wszystkie możliwe przypadki.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 72.

Wykaż, że jeżeli a należy do liczb rzeczywistych, b należy do liczb rzeczywistych i a+b=1 to 8a^{4}+8b^{4}\ge1.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 73.

Trzy pierwiastki wielomianu W(x)=x3+px+q tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy równej 4. Oblicz współczynniki p i q.

Zobacz rozwiązanie wideo: