Matematyka zadania

Stereometria

Zadanie 1.

Wskaż objętość stożka, którego tworząca ma długość 4 i tworzy z płaszczyzną podstawy kąt 45^{o}.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 2.

Pole przekroju osiowego walca jest równe 8. Pole powierzchni bocznej tego walca jest równe:

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 3.

Krawędź podstawy ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ma długość "a" ,krawędź boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 75^{o} . Ostrosłup ten przecięto płaszczyzną zawierającą krawędź podstawy i nachyloną do podstawy pod kątem 45^{o}. Wyznacz pole otrzymanego przekroju

Trójkąty ostrosłup

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 4.

Jeżeli długość każdej krawędzi sześcianu zwiększymy o 1, to pole powierzchni otrzymanej bryły będzie większe od pola powierzchni wyjściowego sześcianu o 30. Wynika stąd, że krawędź tego sześcianu ma długość:

A.1
B.\frac{13}{12}
C.2
D.\sqrt[3]{19}

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 5.

Najdłuższe przekątna graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość 12 i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 60^{o}. Oblicz objętość tego graniastosłupa.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 6.

Objętość walca jest równa \frac{432}{\pi}. Powierzchnia boczna tego walca jest kwadratem. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego walca.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 7.

DO szklanki w kształcie walca nalano soku do wysokości 5 cm. Po przelaniu do większej szklanki, także w kształcie walca, ale o dwa razy mniejszym promieniu podstawy, sok będzie sięgał do wysokości:

A. 10 cm
B. 15 cm
C. 20 cm
D. 25 cm

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 8.

Objętość ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego, którego krawędź boczna ma długość 2, a krawędź podstawy wynosi 1, jest równa:

A. 0,25
B. 1,5
C. 6\sqrt{3}
D. \frac{\sqrt{15}}{2}

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 9.

Przekątna prostopadłościanu o wysokości 4 jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 30^{o}, a do ściany bocznej - pod kątem 45^{o}. Oblicz objętość tego prostopadłościanu.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 10.

Jeśli krawędzie podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego zmniejszono 3 razy, to objętość ostrosłupa zmniejszyła się

A. 3 razy
B. 6 razy
C. 9 razy
D. 27 razy

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 11.

Przekątna prostopadłościanu ma długość 5, jego wysokość jest równa 3, a jedna z krawędzi podstawy ma długość \sqrt{7}. Objętość tego prostopadłościanu wynosi:

A. 3\sqrt{21}
B. 9\sqrt{7}
C. 21
D. 12\sqrt{7}

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 12.

Kąt rozwarcia stożka ma miarę 120^{o}, a tworząca stożka ma długość 4. Objętość tego stożka jest równa

A. 36\pi
B. 18\pi
C. 24\pi
D. 8\pi

Zobacz rozwiązanie wideo:


 

Zadanie 13.

Przekątna podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest dwa rady dłuższy od wysokości graniastosłupa. Graniastosłup przecięto płaszczyzną przez przekątną podstawy i jeden wierzchołek drugiej podstawy (popatrz na rysunek)

Matura 2016 zadanie 24
Płaszczyzna przekroju tworzy z podstawą graniastosłupa kąt \alpha o mierze

A. 30^{o}
B. 45^{o}
C. 60^{o}
D. 75^{o}

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 14.

Podstawą ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ABCS jest trójkąt równoboczny ABC. Wysokość SO tego ostrosłupa jest równa wysokości jego podstawy. Objętość tego ostrosłupa jest równa 27. Oblicz pole powierzchni bocznej ostrosłupa ABCS oraz cosinus kąta, jaki tworzą wysokość ściany bocznej i płaszczyzna podstawy ostrosłupa.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 15.

Przekątna prostopadłościanu ma długość 60 i tworzy z przekątna podstawy kat alfa.
Oblicz wysokość tego prostopadłościanu,jeśli:
a) \cos\alpha=\frac{1}{3}
b) \sin\alpha=\frac{3}{4}
c) tg\alpha=3

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 16.

Przekątna prostopadłościanu ma długość 60 i tworzy z przekątna podstawy kat alfa.
Oblicz wysokość tego prostopadłościanu,jeśli:
a) \cos\alpha=\frac{1}{3}
b) \sin\alpha=\frac{3}{4}
c) tg\alpha=3

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 17.

Przekątna prostopadłościanu ma długość 60 i tworzy z przekątna podstawy kat alfa.
Oblicz wysokość tego prostopadłościanu,jeśli:
a) \cos\alpha=\frac{1}{3}
b) \sin\alpha=\frac{3}{4}
c) tg\alpha=3

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 18.

Oblicz objętość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego o przekątnej ściany bocznej równej 6 cm, jeżeli ta przekątna:
a) z krawędzią podstawy tworzy kąt 45^{o} .
b) z jedną z krawędzi bocznych tworzy kąt 60^{o} .
c) z przekątna podstawy tworzy kąt 60^{o} .

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 19.

Oblicz objętość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego o przekątnej ściany bocznej równej 6 cm, jeżeli ta przekątna:
a) z krawędzią podstawy tworzy kąt 45^{o} .
b) z jedną z krawędzi bocznych tworzy kąt 60^{o} .
c) z przekątna podstawy tworzy kąt 60^{o} .

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 20.

Oblicz objętość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego o przekątnej ściany bocznej równej 6 cm, jeżeli ta przekątna:
a) z krawędzią podstawy tworzy kąt 45^{o} .
b) z jedną z krawędzi bocznych tworzy kąt 60^{o} .
c) z przekątna podstawy tworzy kąt 60^{o} .

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 21.

Podstawą graniastosłupa prostego jest trójkąt równoramienny. Przekątne ścian bocznych tego graniastosłupa tworzą z krawędziami podstawy kąty 30^{o} , 30^{o} i 45^{o} .
Oblicz objętość tego graniastosłupa ,jeśli jego wysokość jest równa 4.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 22.

Krótsza przekątna podstawy graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość \sqrt{3}, a jego wysokość jest równa 4. Oblicz objętość i długość przekątnych tego graniastosłupa.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 23.

Oblicz pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prostego, którego wysokość jest równa 10, a podstawą jest:
a) romb o kącie ostrym 60^{o} i boku długości 4
b) romb o przekątnych długości \sqrt{2} i 3\sqrt{2}
c) trapez równoramienny o podstawach długości 2 i 4 oraz ramionach długości \sqrt{5}.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 24.

Oblicz pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prostego, którego wysokość jest równa 10, a podstawą jest:
a) romb o kącie ostrym 60^{o} i boku długości 4
b) romb o przekątnych długości \sqrt{2} i 3\sqrt{2}
c) trapez równoramienny o podstawach długości 2 i 4 oraz ramionach długości \sqrt{5}.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 25.

Oblicz pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prostego, którego wysokość jest równa 10, a podstawą jest:
a) romb o kącie ostrym 60^{o} i boku długości 4
b) romb o przekątnych długości \sqrt{2} i 3\sqrt{2}
c) trapez równoramienny o podstawach długości 2 i 4 oraz ramionach długości \sqrt{5}.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 26.

Oblicz objętość graniastosłupa prostego, jeżeli jego wysokość jest równa 8, a podstawą jest trójkąt:
a) równoramienny o ramieniu długości 6 i kącie rozwartym 120^{o}
b) równoboczny taki, że promień opisanego na nim okręgu jest równy 4.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 27.

Oblicz objętość graniastosłupa prostego, jeżeli jego wysokość jest równa 8, a podstawą jest trójkąt:
a) równoramienny o ramieniu długości 6 i kącie rozwartym 120^{o}
b) równoboczny taki, że promień opisanego na nim okręgu jest równy 4.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 28.

Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego, którego przekątna ma długość 5, a obwód podstawy wynosi 10.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 29.

Stosunek krawędzi podstawy prostopadłościanu wynosi 1:2, a przekątna podstawy wynosi 5. Oblicz objętość tego prostopadłościanu, jeżeli jego przekątna tworzy z płaszczyzną podstawy kąt 40^{o} .

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 30.

Objętość prostopadłościanu o wysokości długości 5 jest równa 180. Przekątna prostopadłościanu wynosi 2\sqrt{30} . Oblicz długość krawędzi podstawy prostopadłościanu.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 31.

Krawędzie podstawy prostopadłościanu mają długość 3 i 6. Wyznacz miarę kąta, jaką przekątna tego prostopadłościanu tworzy z jego podstawą, jeśli objętość prostopadłościanu wynosi 54\sqrt{14} .

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 32.

Podstawą graniastosłupa jest trójkąt równoramienny, w którym kąt między ramionami wynosi 120^{o} , a bok mu przeciwległy ma długość 3. Oblicz wysokość graniastosłupa wiedząc, że pole jego powierzchni bocznej jest równe sumie pól podstaw.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 33.

Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, o wysokości równej 3, wiedząc, że jego ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 60^{o} .

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 34.

Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego wynosi 108, natomiast pole jego powierzchni bocznej tego ostrosłupa 72.

Oblicz:
a) objętość tego ostrosłupa
b) miarę kąta między ścianą boczną a płaszczyzną podstawy.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 35.

Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego trójkątnego równa się 144\sqrt{3} , a pole jego powierzchni bocznej 96\sqrt{3} . Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 36.

Wyznacz miarę kąta między ścianą boczną i płaszczyzną podstawy ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego wiedząc, że jego pole podstawy jest równe 6\sqrt{3} , a pole powierzchni bocznej 12.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 37.

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym wysokość przeciwległych ścian bocznych poprowadzone z wierzchołka ostrosłupa maja długość h i tworzą kąt o mierze 2\alpha . Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 38.

Oblicz pole powierzchni i objętość kuli, jeśli jej przekrój osiowy ma pole równe 16\pi.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 39.

Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej walca, jeśli jego siatka zawiera prostokąt o bokach długości 2 i 4. Rozważ dwa przypadki.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 40.

Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej stożka o tworzącej długości 4 i kącie rozwarcia o mierze 60^{o} .

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 41.

Na rysunku przedstawiono graniastosłup prawidłowy i ostrosłup prawidłowy. Oblicz długość odcinków x i y.

Na rysunku przedstawiono graniastosłup prawidłowy i ostrosłup prawidłowy.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 42.

Na rysunku przedstawiono graniastosłup prawidłowy i ostrosłup prawidłowy. Oblicz długość odcinków x i y.

Na rysunku przedstawiono graniastosłup prawidłowy i ostrosłup prawidłowy 2

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 43.

Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma wszystkie krawędzie o równych długościach. Oblicz miarę kąta między sąsiednimi ścianami bocznymi.

Oblicz miarę kąta między sąsiednimi ścianami bocznymi.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 44.

Kąt między sąsiednimi ścianami bocznymi ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ma miarę 120^{o}. Oblicz miarę kąta między krawędzią boczną a krawędzią podstawy tego ostrosłupa.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 45.

Z graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego o krawędzi podstawy długości a i wysokości h wycięto ostrosłup w sposób pokazany na rysunku. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Z graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego wycięto ostrosłup (1)

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 46.

Z graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego o krawędzi podstawy długości a i wysokości h wycięto ostrosłup w sposób pokazany na rysunku. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Z graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego wycięto ostrosłup (2)

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 47.

Oblicz objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jeżeli wysokość jest równa 5, a krawędź boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy od kątem 20^{o} .

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 48.

Oblicz objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jeżeli krawędź boczna ma długość 5 i jest nachylona do podstawy pod kątem 80^{o} .

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 49.

Na rysunku przedstawiono graniastosłup prawidłowy i ostrosłup prawdziwy ( pionowe odcinki na rysunkach ostrosłupów to wysokości). Oblicz długość odcinków x i y.

Na rysunku przedstawiono graniastosłup prawidłowy. Oblicz długość odcinka x.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 50.

Na rysunku przedstawiono graniastosłup prawidłowy i ostrosłup prawdziwy ( pionowe odcinki na rysunkach ostrosłupów to wysokości). Oblicz długość odcinków x i y.

Na rysunku przedstawiono ostrosłup prawidłowy. Oblicz długość odcinka y.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 51.

Graniastosłup prawidłowy sześciokątny ma wysokość \sqrt{2}, a krawędź jego podstawy ma długość 1. Znajdź

a) miary kątów nachylenia przekątnych tego graniastosłupa do podstawy,
b) miarę kąta między przekątnymi ścian bocznych, wchodzącymi z jednego wierzchołka

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 52.

Graniastosłup prawidłowy sześciokątny ma wysokość \sqrt{2}, a krawędź jego podstawy ma długość 1. Znajdź
a) miary kątów nachylenia przekątnych tego graniastosłupa do podstawy,
b) miarę kąta między przekątnymi ścian bocznych, wchodzącymi z jednego wierzchołka

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 53.

Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość graniastosłupa prawidłowego.

Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 54.

Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość graniastosłupa prawidłowego.

Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 55.

Kąt rozwarcia stożka ma miarę 120^{o}, a tworząca tego stożka ma długość 6. Promień podstawy stożka jest równy.

A. 3
B. 6
C. 3\sqrt{3}
D. 6\sqrt{3}

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 56.

Dany jest walec, w którym promień podstawy jest równy r, a wysokość walca jest od tego promienia dwa razy większa. Objętość tego walca jest równa.

A. 2\pi{}r^{3}
B. 4\pi{}r^{3}
C. \pi{}r^{2}(r+2)
D. \pi{}r^{2}(r-2)

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 57.

Podstawą graniastosłupa prawidłowego czworokątnego czworokątnego jest kwadrat o boku długości 2, a przekątna ściany bocznej ma długość 3 (zobacz rysunek). Kąt jaki tworzą przekątne ścian bocznych tego graniastosłupa wychodzące z jednego wierzchołka ma miarę \alpha.

Matura 2016 poprawa zadanie 21

Wtedy wartość \sin{}\frac{a}{2} jest równa

A. \frac{2}{3}
B. \frac{\sqrt{7}}{3}
C. \frac{\sqrt{7}}{7}
D. \frac{\sqrt{2}}{3}

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 58.

Różnica liczby krawędzi i liczby wierzchołków ostrosłupa 11. Podstawą tego ostrosłupa jest.

A. dziesięciokąt
B. jedenastokąt
C. dwunastokąt
D. trzynastokąt

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 59.

Trójkąt równoboczny ABC jest podstawą ostrosłupa prawidłowego ABCS, w którym ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 60^{o}, a krawędź boczna ma długość 7 (zobacz rysunek). Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Matura poprawkowa 2016 Zadanie 33

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 60.

Jeżeli ostrosłup ma 10 krawędzi, to liczba ścian bocznych jest równa
A. 5
B. 7
C. 8
D. 10

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 61.

Stożek i walec mają takie same podstawy i równe pola powierzchni bocznych. Wtedy tworząca stożka jest A. sześć razy dłuższa od wysokości walca.
B. trzy razy dłuższa od wysokości walca.
C. dwa razy dłuższa od wysokości walca.
D. równa wysokości walca.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 62.

Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jest równe 198. Stosunki długości krawędzi prostopadłościanu wychodzących z tego samego wierzchołka prostopadłościanu to 1:2:3 Oblicz długość przekątnej tego prostopadłościanu.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 63.

Wysokość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 16 . Przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny jego podstawy pod kątem, którego cosinus jest równy \frac{3}{5} . Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 64.

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym ABCDS o podstawie ABCD wysokość jest równa 5, a kąt między sąsiednimi ścianami bocznymi ostrosłupa ma miarę 120^{o}. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 65.

Miarą kąta dziesięciokąta foremnego wynosi:

A. 150^{o}
B. 144^{o}
C. 134^{o}
D. 120^{o}

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 66.

Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równobocznym o boku 4. Objętość tego stożka jest równa:

A. \frac{8\pi\sqrt{3}}{3}
B. 8\pi\sqrt{3}
C. \frac{16\pi\sqrt{3}}{3}
D. 16\pi\sqrt{3}

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 67.

W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź boczna ma długość 6 cm, a krawędź podstawy ma długość 3.

A) Sporządź rysunek i zaznacz na nim kąt \alpha - kąt nachylenia przekątnej graniastosłupa do płaszczyzny podstawy.

B) Oblicz tg\alpha i odczytaj z tablic wartość \alpha z dokładnością do 1 stopnia.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 68.

Pole podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe 4, a pole powierzchni bocznej 12. Oblicz \cos kąta między ścianą boczną i płaszczyzną podstawy ostrosłupa.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 69.

Przekątna prostopadłościanu jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 45^{o}. Krawędzie podstawy mają długość 3 i 4. Objętość bryły jest:

A) większa od 60
B) mniejsza od 30
C) równa 60
D) równa 30

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 70.

W ostrosłupie trójkątnym dwie krawędzie wspólnym wierzchołku mają długość \sqrt{10}, a długość pozostałych krawędzi jest równa 4. Oblicz objętość tej bryły.

ostroslupy

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 71.

Dany jest graniastosłup, którego podstawą jest trapez równoramienny o podstawach 12 cm i 8 cm i ramiona 5 cm. Wysokość graniastosłupa jest 30 cm. Oblicz pole całkowite i objętość graniastosłupa.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 72.

Akwarium ma wymiary: długość 60 cm, szerokość 40 cm, wysokość 80 cm. Ile litrów wody zmieści się w tym akwarium jeżeli napełnimy go w 80\% wysokości. Ile rybek pomieści to akwarium, jeśli jedna rybka potrzebuje 8 litrów wody.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 73.

Narysuj siatkę prostopadłościanu, którego podstawa ma wymiary 1 m i 2 cm, a jego wysokość jest równa 3 cm. Oblicz przekątną tego prostopadłościanu.

siatka-graniastoslupa

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 74.

Podstawą graniastosłupa jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych 4 cm i 9 cm. Wysokość graniastosłupa jest równa 8 cm. Oblicz pole całkowite i objętość tego graniastosłupa.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 75.

Sześcian przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną dolnej podstawy i środki dwóch krawędzi górnej podstawy. Pole otrzymanego przekroju jest równe 40,5 cm^{2}. Oblicz objętość tego sześcianu.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 76.

Wszystkie krawędzie ostrosłupa prawidłowego czworokątnego mają taką samą długość. Wówczas krawędź boczna tworzy z podstawą kąt, którego tangens jest równy

A. \frac{\sqrt{3}}{3}
B. 1
C. \sqrt{2}
D. \sqrt{3}

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 77.

Przekątna graniastosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość 10 cm i tworzy z płaszczyzną podstawy kąt 60 stopni. Oblicz objętość tego graniastosłupa.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 78.

Wysokość prostopadłościanu prawidłowego o objętości 36 jest równa 9. Krawędź podstawy tego prostopadłościanu ma długość:

A. 12
B. 6
C. 4
D. 2

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 79.

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym kąt między jego wysokością a ścianą boczną ma miarę 45^{o}. Oblicz sumę długości wszystkich krawędzi ostrosłupa, jeżeli jego objętość jest równa 4,5.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 80.

Kąt rozwarcia stożka ma miarę 60^{o}, a promień jego podstawy jest równy 3 (rysunek obok). Pole powierzchni bocznej tego stożka wynosi:

A. 18\pi
B. 12\pi
C. 6\sqrt{3}\pi
D. 3\sqrt{3}\pi

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 81.

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź podstawy ma długość 4, a krawędź boczna tworzy z płaszczyzną podstawy kąt 60^{o}. Wysokość tego ostrosłupa jest równa:

A. \sqrt{2}
B. \sqrt{6}
C. 2\sqrt{6}
D. 4\sqrt{6}

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 82.

Przekątna AC^{'} graniastosłupa czworokątnego ABCDA^{'}B^{'}C^{'}D^{'} o podstawie prostokąta ma długość 13, a stosunek krawędzi podstawy wynosi 3:4. Oblicz pole powierzchni bocznej graniastosłupa wiedząc, że obwód podstawy wynosi 14.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 83.

Podstawą graniastosłupa prostego jest romb o przekątnych długości 12 i 16. Przekątne ścian bocznych wychodzące z wierzchołka kąta rozwartego podstawy są prostopadłe. Oblicz objętość tego graniastosłupa.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 84.

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym kąt między dwiema sąsiednimi ścianami bocznymi ma miarę 2\alpha, kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny ma miarę \beta, zaś kąt między krawędzią boczną a krawędzią podstawy jest równy \gamma. Wykaż, że \sin^{2} \alpha\cdot \sin2\gamma=\cos\beta.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 85.

W stożek wpisano kulę, której pole powierzchni jest dwa razy mniejsze niż pole powierzchni całkowitej stożka. Oblicz cosinus kąta nachylenia tworzącej stożka do płaszczyzny jego podstawy oraz stosunek objętości stożka do objętości kuli.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 86.

Na rysunku obok przedstawiono ostrosłup prawidłowy czworokątny o wszystkich krawędziach równej długości. Oblicz pole przekroju zaznaczonego na rysunku, jeśli płaszczyzna przekroju tworzy z podstawą kąt 30^{o}.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 87.

Jeśli graniastosłup ma 36 krawędzi, to liczba wierzchołków tego graniastosłupa wynosi:

A. 24
B. 12
C. 18
D. 36

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 88.

Trójkąt prostokątny o przyprostokątnych 6 i 8 obracamy wokół krótszej przyprostokątnej. Objętość powstałego stożka jest równa:

A. 128\pi
B. 64\pi
C. 96\pi
D. 48\pi

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 89.

W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym ABCDA^{'}B^{'}C^{'}D^{'} przekątna AC podstawy ma długość 4\sqrt{3}. Kąt ACA^{'} jest równy 30^{o}. Oblicz objętość ostrosłupa ABCDA^{'} (patrz na rysunek).

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 90.

Jeżeli przekątna sześcianu ma długość 6 cm, to jego krawędź ma długość:

A. 2 cm
B. 3 cm
C. 2\sqrt{3} cm
D. 3\sqrt{2} cm

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 91.

Suma długości wszystkich krawędzi ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa 54 cm. Wiedząc, że krawędź boczna tego ostrosłupa jest dwa razy dłuższa od krawędzi podstawy oblicz jego objętość.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 92.

Przekątna ściany bocznej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego trójkątnego tworzy z wysokością graniastosłupa kąt o mierze 30^{o}. Krawędź podstawy ma długość równą 12. Oblicz jego objętość.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 93.

Dwie różne przekątne graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego mają długości: 12 cm i 13 cm. Długość krawędzi podstawy tego graniastosłupa jest równa?

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 94.

Wysokość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego i wysokość podstawy mają taką samą długość, równą \sqrt{3}. Pole powierzchni całkowitej tej bryły jest równe?

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 95.

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym ściana boczna nachylona jest do podstawy pod kątem 60^{o}. Oblicz długość wysokości tego ostrosłupa oraz sumę długości krawędzi jeśli wiadomo, że wysokość ściany bocznej poprowadzona z wierzchołka ostrosłupa ma długość 18.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 96.

Krawędzie boczne ostrosłupa prawidłowego czworokątnego mają długość 5. Kąty między przeciwległymi krawędziami bocznymi mają miarę 120. Oblicz objętość ostrosłupa.

A. 36\pi
B. 18\pi
C. 24\pi
D. 8\pi

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 97.

Jaką długość będzie miała przekątna ściany bocznej w graniastosłupie prawidłowym czworokątnym, jeżeli jego objętość wynosi 100 cm^{3} a wysokość 10 cm.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 98.

Oblicz objętość i pole całkowite ostrosłupa prawidłowego trójkątnego o krawędzi podstawy a=3 i wysokości h=5.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 99.

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym pole podstawy jest 2 raz większe od pola ściany bocznej. Oblicz cosinus kąta alfa zawartego między sąsiednimi ścianami bocznymi tego ostrosłupa.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 100.

Graniastosłup prawidłowy sześciokątny o krawędzi podstawy a przeciętą płaszczyzny zawierającą przekątne sąsiednich ścian bocznych wychodzące z tego samego wierzchołka. Pole otrzymanego przekroju jest równe S. Oblicz cosinus kąta, jaki płaszczyzna tworzy z podstawą oraz wyznacz objętość tego graniastosłupa.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 101.

Kąt rozwarcia stożka o objętości równej 27\pi ma miarę 120^{o}. Wyznacz pole powierzchni bocznej tego stożka.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 102.

Mamy stożek A oraz stożek ścięty B o tej samej podstawie co stożek A i objętości o połowę mniejszej. Oblicz wysokość stożka ściętego, jeśli wysokość stożka A wynosi 18 cm, a promień jego podstawy wynosi 8 cm.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 103.

Oblicz pole papierowego wycinka koła, z którego wykonano torebkę w kształcie stożka mającego wysokość czterokrotnie większa od promienia podstawy. W torebce ma się zmieścić 500 cm^{3} cukru. Pomiń pole ewentualnych zakładek. Przyjmij,że \pi=3.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 104.

Krawędź boczna graniastosłupa prawidłowego trójkątnego ma długość \sqrt{8}, a krawędź podstawy ma długość 2. Oblicz:

A. Cosinus kąta nachylenia przekątnej ściany bocznej do płaszczyzny podstawy
B. Sinus kąta między przekątną jednej ściany bocznej a krawędzią podstawy zawartą w sąsiedniej ścianie bocznej, wychodzącymi z tego samego wierzchołka
C. Miarę kąta nachylenia przekątnej ściany bocznej do sąsiedniej ściany bocznej

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 105.

W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź boczna jest dwa razy dłuższa od krawędzi podstawy. Oblicz:

A. Tangens kąta nachylenia przekątnej ściany bocznej do płaszczyzny podstawy
B. Sinus kąta między przekątną ściany bocznej a przekątną podstawy, wychodzącymi z tego samego wierzchołka
C. Cosinus kąta nachylenia przekątnej graniastosłupa do płaszczyzny podstawy.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 106.

Jeśli w graniastosłupie prawidłowym sześciokątnym o objętości 96\sqrt{3} wszystkie krawędzie mają tę samą długość równą a, to:

A. a=4\sqrt[3]{6}
B. a=6
C. a=4
D. a=\sqrt[3]{96\sqrt{3}}

Zobacz rozwiązanie wideo:


 

Wejdź i odbierz koszulkę