Matematyka zadania

Rachunek różniczkowy

Zadanie 1.

Oblicz granicę funkcji \lim_{x\to\sqrt{5}}f(x)=\frac{x^{3}+x^{2}-5x-5}{10x^{2}-50} dla x dążącego do \sqrt{5}.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 2.

Liczba x_{0} jest największym miejscem zerowym pochodnej funkcji
f(x)=x^{4}-34x^{2}+20. Oblicz x_{0}.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 3.

Styczna do wykresu funkcji f(x)= -x^{2} +600 poprowadzona w punkcie (4,584) przecina oś OY w punkcie (0,b). Oblicz b.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 4.

Dana jest funkcja f(x)=\frac{2x^{2}+7}{3-x} Wyznacz najmniejsza liczbę spełniającą nierówność x+5\cdot{}f ^{'} (-2)\ge{}100.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 5.

Wyznacz największą liczbę a, dla której funkcja f(x)=4x^{3}+ax^{2}+x nie ma ekstremum.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 6.

Dana jest funkcja f określona wzorem f(x)=\frac{x-8}{x^{2}+6} dla wszystkich liczb rzeczywistych x. Oblicz wartość pochodnej tej funkcji dla x=\frac{1}{2}.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 7.

Dana jest funkcja f określona wzorem f(x)=\frac{2x^{4}+15}{6-x^{2}} dla wszystkich liczb rzeczywistych takich, że x\neq-\sqrt{6}  i  x\neq\sqrt{6}. Oblicz wartość pochodnej tej funkcji dla x=1.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 8.

Dana jest parabola o równaniu y=x^{2}+1 i leżący na niej punkt A o współrzędnej x równej 3. Wyznacz równanie stycznej do tej paraboli w punkcie A.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 9.

Wykaż, że styczne poprowadzone do wykresu funkcji f(x)=\frac{1+3x^{2}}{3+x^{2}} w punktach o rzędnych 1, przechodzą przez początek układu współrzędnych.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 10.

Dana jest funkcja f określona wzorem f(x)=4x^{3}-2x+1 dla wszystkich liczb rzeczywistych. Uzasadnij, że prosta l o równaniu 10x-y+9=0 jest styczna do wykresu funkcji f.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 11.

Wyznacz ekstrema funkcji f(x)=(x+2)^{2}(x-4). Ile rozwiązań ma równanie f(x)=-30.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 12.

Wyznacz parametr a jeśli wiadomo, że \lim_{x\to1}(\frac{a}/{1-x}-\frac{1}{x^{2}-1})=1/4 (x dąży do 1)

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 13.

Uzasadnij że kąt między styczną do wykresu funkcji f(x)=2x^{5}+x-7 a osią OX jest kątem ostrym. Wyznacz równanie stycznej, dla której kąt ten ma miarę 45^{o}.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 14.

Funkcja f określona jest wzorem f(x)=x^{3}-2x^{2}+1 dla każdej liczby rzeczywistej x. Wyznacz równanie tych stycznych do wykresu funkcji f, które są równoległe do prostej o równaniu y=4x.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 15.

Punkt p(x_{0},y_{0}) należy do wykresu funkcji f(x)=\frac{1}{x} , x>0.
a) Styczna do wykresu funkcji f w punkcie P przecina osie układu współrzędnych w punktach A i B. Uzasadnij, że punkt p jest środkiem odcinka AB.
b) Wykaż, że pole trójkąta ABO jest równe 2.

Rachunek różniczkowy zad 7

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 16.

Wyznacz parametr a tak, aby prosta o równaniu y=-2x+1 była styczna do wykresu funkcji f(x)=x^{3}+ax=1. Podaj współrzędne punktu styczności.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 17.

Funkcja f(x)=\frac{x^{2}+ax+b}{x-1} ma dla x=3 minimum równe 7. Oblicz a i b oraz pozostałe ekstrema tej funkcji.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 18.

Dwa wierzchołki A i B kwadratu ABCD należą do prostej x-2y=0, a wierzchołek C należy do hiperboli o równaniu y=-\frac{8}{x}. Oblicz długość przekątnej kwadratu, którego pole jest najmniejsze.

Rachunek różniczkowy teraz matura zadanie 12

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 19.

Dla jakich x i y takich, że y-x=1, wyrażenie \frac{y^{2}-2x+1}{x^{2}+2y} przyjmuje największą wartość. Wyznacz tę wartość.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 20.

Dany jest prostokątny arkusz kartony o długości 80 cm i szerokości 50 cm. W czterech rogach tego arkusza wycięto kwadratowe naroża (zobacz rysunek). Następnie zgięto karton wzdłuż linii przerywanych, tworząc w ten sposób prostopadłościenne pudełko. Oblicz długość boku każdego z wyciętych kwadratowych naroży, dla której objętość otrzymanego pudełka jest największa. Oblicz tę maksymalną objętość.

Rachunek różniczkowy teraz matura zadanie 14

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 21.

Oblicz obwód trójkąta prostokątnego, w którym jedna z przyprostokątnych ma długość 2 i dla którego stosunek pola koła opisanego na tym trójkącie do pola tego trójkąta jest najmniejszy.

Rachunek różniczkowy teraz matura zadanie 16

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 22.

Dla jakich wartości parametru p suma sześcianów różnych pierwiastków równania x^{2}+px+p^{2}-1=0 osiąga największą wartość? Oblicz tę wartość.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 23.

Pudełko ma kształt graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego. Wyznacz długość krawędzi podstawy, przy której pole powierzchni pudełka jest najmniejsze, jeżeli jego objętość wynosi 36 cm^{3}. Oblicz pole powierzchni tego pudełka.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 24.

W półkole o promieniu r wpisano prostokąt o największym polu. Oblicz cosinus kąt rozwartego między przekątnymi tego prostokąta.

Rachunek różniczkowy teraz matura zadanie 18

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 25.

Przez punkt P (1,9) poprowadzono prostą o współczynniku kierunkowym ujemnym tak, że suma długości odcinków, które ta prosta odcięła na osiach układu współrzędnych, jest najmniejsza. Wyznacz równanie tej prostej.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 26.

Okno na poddaszu ma mieć kształt trapezu równoramiennego, którego krótsza podstawa i ramiona mają długość po 4 dm. Oblicz, jaką długość powinna mieć dłuższa podstawa tego trapezu, aby do pomieszczenia wpadało przez to okno jak najwięcej światła, czyli aby pole powierzchni okna było największe. Oblicz to pole.

Rachunek różniczkowy teraz matura zadanie 17

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 27.

Punkty A(-4,-1) i B(-2,-2) należą do hiperboli o równaniu y=\frac{4}{x}. Wyznacz współrzędne punktu C o odciętej dodatniej, należącego do danej hiperboli i takiego, że pole trójkąta ABC jest najmniejsze.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 28.

Dwa wierzchołki prostokąta należą do paraboli o równaniu f(x)=\frac{1}{4}x^{2} , a dwa − do odcinka o końcach A(-4,4) i B(4,4). Wyznacz długości boków prostokąta, którego pole powierzchni jest największe.

Rachunek różniczkowy teraz matura zadanie 22

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 29.

Rozpatrujemy wszystkie stożki, których przekrojem osiowym jest trójkąt o obwodzie 20. Oblicz wysokość i promień podstawy tego stożka, którego objętość jest największa. Oblicz objętość tego stożka.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 30.

Funkcja f(x)=-x^{3}+(a+1)x^{2}+12x+b osiąga minimum w punkcie A i maksimum w punkcie B. Wyznacz współrzędne tych punktów, wiedząc, że są one symetryczne względem początku układu współrzędnych.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 31.

Funkcja f(x)=\frac{ax+b}{(x-1)(x-4)} ma ekstremum w punkcje x=2. Wyznacz a i b wiedząc, że f(2)=-1.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 32.

Zbadaj przebieg zmienności funkcji
f(x)=\frac{x^{2}-2x+3}{x^{2}+2x-3} i naszkicuj jej wykres.
Odczytaj z wykresu liczbę rozwiązań równania f(x)=m oraz zbiór wartości funkcji f(x).

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 33.

Funkcja f(x)=\frac{ax^{2}+b}{(2-x)^{2}} ma ekstremum w punkcie x=0. Wyznacz a i b wiedząc, że prosta y=1 jest asymptotą pozioma wykresu funkcji.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 34.

Funkcja f(x)=\frac{3x-1}{x^{2}+4} jest określona dla każdej liczby rzeczywistej x. Pochodna tej funkcji jest określona wzorem

A. f'(x)=\frac{-3x^{2}+2x+12}{(x^{2}+4)^{2}}
B. f'(x)=\frac{-9x^{2}+2x-12}{(x^{2}+4)^{2}}
C. f'(x)=\frac{3x^{2}-2x-12}{(x^{2}+4)^{2}}
D. f'(x)=\frac{9x^{2}-2x+12}{(x^{2}+4)^{2}}

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 35.

Granica \lim_{n\to\infty}\frac{(pn^{2}+4n)^{3}}{5n^{6}-4}=-\frac{8}{5}. Wynika stąd, że

A. p=-8
B. p=4
C. p=2
D. p=-2

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 36

Wyznacz pochodną funkcji

a) f(x)=\frac{\arcsin{}x}{4x^{5}-3x^{2}+2}
b) g(x)=\sin{}(\arccos{}(\sqrt{9x^{3}}-3))

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 37.

Wyznacz pochodną funkcji

a) f(x)=\frac{\arcsin{}x}{4x^{5}-3x^{2}+2}
b) g(x)=\sin{}(\arccos{}(\sqrt{9x^{3}}-3))

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 38.

Parabola o równaniu y=2-\frac{1}{2}x^{2} przecina oś Ox układu współrzędnych w punktach A=(-2,0) i B=(2,0). Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne ABCD, których dłuższą jest odcinek AB, a końce C i D krótszej podstawy leżą na paraboli(zobacz rysunek).

matura-matematyka-2016-rozszerzona

Wyznacz pole trapezu ABCD w zależności od pierwszej współrzędnej wierzchołka C. Oblicz współrzędne wierzchołka C tego z rozpatrywanych trapezów, którego pole jest największe.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 39.

Oblicz granicę funkcji: \lim_{x\to\frac{1}{2}}\frac{16x^{3}-2}{8x^{2}-6x+1}

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 40.

Trawnik w kształcie prostokąta o polu 128 m^{2} ma być otoczony chodnikiem. Jego szerokość po przeciwległych stronach trawnika są takie same- wynoszą 2 m i 1 m (rysunek obok). Jakie wymiary powinien mieć trawnik aby chodnik zajmował najmniejszą powierzchnię?

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 41.

Wierzchołki trapezu należą do paraboli danej równaniem y=9-x^{2} a jego dłuższa podstawa jest zawarta w osi ox. Oblicz największe możliwe pole takiego trapezu.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 42.

Dla której z wymienionych wartości parametru a funkcja f(x)=-x^{3}+ax^{2}-3ax+5 jest malejąca?

A. a=-3
B. a=-1
C. a=2
D. a=10

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 43.

Oblicz pole trójkąta ograniczonego osiami układu współrzędnych i styczną do hiperboli y=\frac{100}{x} w punkcie o odciętej równej 1.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 44.

Obwód okna przedstawionego na rysunku wynosi 7 m. W jakim stosunku powinny pozostawać odcinki a i b, aby przez okno wpadało jak najwięcej światła?

Zobacz rozwiązanie wideo:


 

Wejdź i odbierz koszulkę