Matematyka zadania

Planimetria

Zadanie 1.

W trójkącie prostokątnym ABC przeciwprostokątna AB ma długość 2,5, a cosinus kąta przy wierzchołku B wynosi 0,8. Wskaż długość przyprostokątnej BC.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 2.

Dany jest romb i okrąg takie, że każdy bok rombu jest styczny do okręgu, jak na rysunku. Bok rombu ma długość 10, a jeden z kątów ma miarę 150 stopni. Wskaż miarę tego okręgu.

614f7abef3409183261f2db74033e404

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 3.

Dany jest trapez ABCD o podstawach AB i CD.Pole trójkąta ABC jest równe 32, a pole trójkąta BCD jest równe 13. Oblicz poole trapezu.

trapez

A. 29
B. 38,5
C. 45
D. 58

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 4.

W trójkącie ostrokątnym ABC, w którym kąt BAC= 48^{o}, poprowadzono wysokości CH1 i BH2. Wysokości te przecięły się w punkcie S. Wskaż miarę kąta H1SB

Trójkąt

A. 42^{o}
B. 48^{o}
C. 132^{o}
D. 138^{o}

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 5.

W trójkącie prostokątnym równoramiennym przyprostokątna ma długość 2+\sqrt{2}. Wskaż obwód tego trójkąta.

Planimetria trójkąt

A. 6+4\sqrt{2}
B. 6+4\sqrt{2}
C. 8+4\sqrt{2}
D. 4+2\sqrt{2}+2\sqrt{3}

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 6.

Suma pięciu pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego jest równa 11, a jego iloraz wynosi -2. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy:

A. -1\frac{2}{31}
B. -\frac{1}{3}
C. \frac{1}{3}
D. 1

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 7.

W trójkącie prostokątnym jedna z przyprostokątnych ma długość 8, a wysokość opuszczona na przeciwprostokątną jest równa 4\sqrt{3}. Oblicz długość przeciwprostokątnej.

Trójkąt zad 7

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 8.

Suma liczby boków i przekątnych pewnego wielokąta jest równa 36. Jaki to wielokąt?

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 9.

Bok rombu jest równy 3, a jego dłuższa przekątna ma długość 5. Oblicz \cos kąta ostrego tego rombu.

Bok rombu jest równy 3, a jego dłuższa przekątna ma długość 5

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 10.

Dane są trójkąt ABC i prosta k styczna w punkcie A do okręgu opisanego na tym trójkącie. Prosta BC przecina prostą k w punkcie P. Długości odcinków AC, BC i PB zostały podane na rysunku.Oblicz długość odcinka AB.

Dane są trójkąt ABC i prosta k

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 11.

Dany jest trapez równoramienny o podstawach 20 cm i 40 cm. W trapez ten można wpisać okrąg. Pole tego trapezu jest równe a cm^{2}. Oblicz to pole.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 12.

Promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny jest równy 200. Tangens jednego z jego kątów ostrych wynosi \frac{3}{4}. Oblicz odległość między wierzchołkiem kąta prostego a punktem styczności okręgu z przeciwprostokątną.

Promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny jest równy 200

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 13.

Przekątne równoległoboku mają długość 15 cm i 30 cm, a cosinus kąta między nimi zawartego jest równy \frac{1}{4}. Oblicz obwód tego równoległoboku.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 14.

Trapez równoramienny o przekątnej długości 60 opisany jest na okręgu o promieniu 20. Oblicz obwód tego trapezu.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 15.

Długość każdego boku kwadratu zwiększono o 40\%. Pole otrzymanego kwadratu jest większe od pola wyjściowego kwadratu o?

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 16.

Dany jest trójkąt ABC, w którym kąt ACB=90^{o}, AB=15, \cos kąta CAB=0,8. Bok BC ma długość:

A.8
B.9
C.10
D.12

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 17.

W okręgu poprowadzono cięciwy AB i BC. Każda z nich ma długość równą promieniowi okręgu. Kąt ABC ma miarę:

A.60^{o}
B.90^{o}
C.120^{o}
D.150^{o}

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 18.

Ze wszystkich prostokątów o obwodzie 12 wybrano prostokąt o największym polu i opisano na nim okrąg. Promień tego okręgu ma długość?

A.\sqrt{3}
B.2\sqrt{3}
C.3\sqrt{2}
D.\frac{3\sqrt{2}}{2}

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 19.

Budujemy trójkąty różnoboczne z odcinków o długościach ze zbioru {1, 3, 4, 5, 6, 7}.
a) Ile takich trójkątów można zbudować?
b) Ile wśród nich jest rozwartokątnych?

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 20.

W trójkącie prostokątnym jedna z przyprostokątnych ma długość 4, a wysokość opuszczona na przeciwprostokątną jest równa 3. Oblicz pole tego trójkąta.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 21.

Wysokości równoległoboku o obwodzie 20 cm są równe 2 cm i 3 cm. Oblicz pole tego równoległoboku.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 22.

Wykaż, że koło o polu 12 zmieści się we wnętrzu trójkąta o bokach 6,8,10.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 23.

Wiedząc że wysokość trójkąta jest równa 6, a podstawa zielonego trójkąta jest równa 4. Przeciwprostokątna w tym trójkącie ma długość?

Darmowe korepetycje - zadanie 4 od Krystiana

A.13
B.9
C.6
D.\sqrt{13}

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 24.

W okręgu o promieniu 6 wpisano kwadrat. Obwód zamalowanej figury (rys. obok) jest równy:

A.6\sqrt{2}+3\pi
B.12\sqrt{2}+3\pi
C.12\sqrt{2}+6\pi
D.6\sqrt{2}+6\pi

Darmowe korepetycje - zadanie 5 od Krystiana

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 25.

Wysokości równoległoboku wynoszą 2,4 cm i 4 cm, a jego obwód jest równy 16 cm.
a) Oblicz długości boków równoległoboku
b) Oblicz cosinus kąta rozwartego między przekątnymi tego równoległoboku.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 26.

Przekątna trapezu równoramiennego ma długość 2\sqrt{7}cm, a jego obwód jest równy 16 cm. Oblicz długość boków trapezu, jeżeli wiadomo, że w ten trapez można wpisać okrąg.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 27.

Wysokości równoległoboku wynoszą 2,4 cm i 4 cm, a jego obwód jest równy 16 cm.
a) Oblicz długości boków równoległoboku
b) Oblicz cosinus kąta rozwartego między przekątnymi tego równoległoboku.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 28.

Miara jednego z kątów trójkąta jest równa 30^{o}. Pole tego trójkąta wynosi \sqrt{3}, a promień okręgu opisanego na nim jest równy 2. Oblicz promień okręgu wpisanego w ten trójkąt.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 29.

Punkt D należy do podstawy AB trójkąta równoramiennego ABC. Odcinek AD jest dwa razy dłuższy, a odcinek DC − trzy razy dłuższy od odcinka DB. Oblicz \cos\alpha kąta ADC. Korzystając z tablic trygonometrycznych, podaj miarę kąta \alpha z dokładnością do 1^{o}.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 30.

Kąt przy podstawie trapezu równoramiennego ma miarę 30^{o} . Dłuższa podstawa jest równa 6\sqrt{3}, a ramię ma długość 3. Oblicz promień okręgu opisanego na tym trapezie.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 31.

Przekątna trapezu równoramiennego ma długość d i jest nachylona do dłuższej podstawy pod kątem \alpha. Wykaż, że:
a) pole tego trapezu jest równa \frac{1}{2}d^{2}\sin2\alpha
b) jeżeli w ten trapez można wpisać okrąg, to obwód jest równy 4d\cos\alpha.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 32.

Na okręgu o promieniu pierwiastek 3 opisano trapez równoramienny ABCD, o dłuższej podstawie AB i krótszej CD. Punkt styczności S dzieli ramię BC tak, że |SB|=3|CS|. Oblicz.
a) długość ramienia tego trapezu
b) cosinus kąta ABD

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 33.

W trójkącie prostokątnym ABC przyprostokątne AC i BC mają długość odpowiednio 12 i 9. Na boku AB wybrano taki punkt D, że odcinki BC i BD są równe. Oblicz cosinus kąta BCD, promień okręgu wpisanego w trójkąt BCD i promień okręgu opisanego na tym trójkącie.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 34.

Dany jest trójkąt prostokątny ABC o kącie prostym przy wierzchołku C i obwodzie 2p . Na prostej AB obrano punkty D i E leżące na zewnątrz odcinka AB takie, że AD=AC i BE=BC (zobacz rysunek). Wykaż, że promień okręgu opisanego na trójkącie ECD jest równy p\sqrt{2} .

Teraz matura - zestaw D - zadanie 10

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 35.

Oblicz pole niebieskiej figury. Przyjmij że jedna kratka ma długość jeden.

Darmowe korepetycje koła i okręgi zadanie 1

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 36.

Okrąg o promieniu 48 przechodzi przez środek okręgu o promieniu 21, gdy odległość między środkami tych okręgów jest równa ?

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 37.

Wyznacz równanie prostej prostopadłej do prostej l i przechodzącej przez punkt P.

a) l:y=3x+1 , P(3,-2)
b) l:y=\frac{2}{3}x-3 , P(4,1)
c) l:y=-\frac{3}{4}x+11 , P(-4,-2)
d) l:y=\frac{31}{2}x-3 , P(14,-4)

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 38.

Długości boków czworokąta ABCD są równe |AB|=2 , |BC|=3 , |CD|=4 , |DA|=5. Na czworokącie ABCD opisano okrąg. Oblicz długość przekątnej AC tego czworokąta.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 39.

W trapezie ABCD dłuższa podstawa |AB|=10 , a ramię |AD|=6. Dwusieczna kata BAD przecina podstawę DC w punkcie P. Oblicz długość krótszej podstawy trapezu, jeżeli pole czworokąta ABCP jest dwa razy większe od pola trójkąta ABS, gdzie S jest punktem przecięcia odcinka AP z przekątna DB.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 40.

Na czworokącie ABCD opisano okrąg. Kąt ABC ma miarę 100^{o}, a kąt CAD ma miarę 62^{o}. Miara kąta ABD jest równa:

A. 28^{o}
B. 38^{o}
C. 62^{o}
D. 80^{o}

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 41.

W trójkącie prostokątnym jedna z przyprostokątnych ma długość 5 a przeciwprostokątna 5\sqrt{2}. Jaką długość ma wysokość tego trójkąta poprowadzona z wierzchołka kąta prostego?

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 42.

W romb o boku długości 8 i jednym z kątów o mierze 120^{o} wpisano okrąg. Wskaż długość promienia tego okręgu.

Teraz matura, arkusz 4, zadanie 22

A. 2
B. 4
C. 2\sqrt{3}
D. 4\sqrt{3}

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 43.

W trójkącie rozwartokątnym ABC, w którym |AB|=|AC|=5, poprowadzono wysokość CH o długości 3. Oblicz sinus kąta ABC.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 44.

W trapezie równoramiennym o podstawie długości 4 cm i 16 cm wpisano okrąg. Oblicz długość promienia tego okręgu.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 45.

Wysokość trójkąta ABC przecinają się w punkcie S tak, że |AS|=|BC|. Wykaż, że kąt BAC ma miarę 45^{o}

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 46.

Suma kątów wewnętrznych n-kata jest równa:

A. 360^{o}(n-2)
B. 180^{o}n
C. \frac{360^{o}}{n-1}
D. 180^{o}(n-2)

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 47.

W trójkącie prostokątnym ABC sinus kąta ACB jest równy \frac{2}{7}, a przyprostokątna AB ma długość 2\sqrt{5}. Druga przyprostokątna tego trójkąta ma długość:

A. 5
B. 5\sqrt{5}
C. 7\sqrt{5}
D. 15

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 48.

Pole trójkąta ABC jest dwukrotnie większe od pola trójkąta ADE oraz |AE|=6, DE||BC (zobacz rysunek)

Teraz matura arkusz 5 zadanie 19

Długość odcinak EC jest równa:

A. 6(\sqrt{2}-1)
B. 3
C. 6
D. 6(\sqrt{2}+1)

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 49.

Wewnątrz kwadratu ABCD obrano punkt S taki, że |SD|=|SC|=|CD|. Miara kąta BSC jest równa:

A. 30^{o}
B. 60^{o}
C. 75^{o}
D. 80^{o}

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 50.

Jeden z boków trójkąta ma długość 12 cm, a kąt wewnętrzne przy tym boku mają miary 37^{o} i 53^{o}. Promień okręgu opisanego na tym trójkącie jest równy:

A. 4 cm
B. 5 cm
C. 6 cm
D. 7 cm

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 51.

Przekątne trapezu ABCD (AB||CD) przecinają się w punkcie O. Pola trójkątów ABO i CDO są równe odpowiednio 9 i 4. Oblicz pole tego trapezu.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 52.

W trójkącie ABC, w którym kąt przy wierzchołku C ma miarę 60^{o}, poprowadzono wysokość AP i BQ. Następnie skonstruowano okrąg o środku w punkcie S, przechodzący przez punkty A,B,P,Q. Wykaż, że trójkąt PQS jest równoboczny.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 53.

W trapezie równoramiennym dana jest wysokość h i miara kąta ostrego alfa. Oblicz pole i obwód trapezu, wiedząc, ze przekątna trapezu jest prostopadła do ramienia.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 54.

W trapezie równoramiennym długość dłuższej podstawy równa się 12cm, długość ramienia 6cm, a miara kąta między tymi bokami jest równa alfa. Oblicz pole tego trapezu wiedząc, że \sin\alpha=\frac{3}{5}

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 55.

W trójkącie prostokątnym obwód jest równy 30 i pole równa się 30. Oblicz długości boków tego trójkąta.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 56.

Przekątne rąbu mają długości 12 i 4\sqrt{3}. Oblicz: pole, obwód, długości oraz kąt ostry tego rąbu.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 57.

Punkty ABCD leżą na okręgu o środku S (zobacz rysunek).
Miara kąta BDC jest równa

Matura 2016 zadanie 7
A. 91^{o}
B. 72,5^{o}
C. 18^{o}
D. 32^{o}

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 58.

W okręgu o środku w punkcie S przeprowadzono cięciwę AB, która utworzyła z promieniem AS kąt o mierze 31^{o} (zobacz rysunek). Promień tego okręgu ma długość 10. Odległość punktu S od cięciwy AB jest liczbą z przedziału

Matura 2016 zadanie 13

A. <\frac{9}{2},\frac{11}{2}>
B. (\frac{11}{2},\frac{13}{2}>
C. (\frac{13}{2},\frac{19}{2}>
D. (\frac{19}{2},\frac{37}{2}>

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 59.

Przedstawione na rysunku trójkąty ABC i PQR są podobne. Bok AB ma długość

Matura 2016 zadanie 16

A. 8
B. 8,5
C. 9,5
D. 10

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 60.

Z odcinków o długościach: 5,2a+1,a-1 można zbudować trójkąt równoramienny. Wynika stąd, że

A. a=6
B. a=4
C. a=3
D. a=2

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 61.

Okręgi o promieniach 3 i 4 są styczne zewnętrznie. Prosta styczna do okręgu o promieniu 4 w punkcie P przechodzi przez środek okręgu o promieniu 3 (zobacz rysunek)

Matura 2016 zadanie 19

Pole trójkąta, którego wierzchołkami są środki okręgów i punkt styczności P, jest równe

A. 14
B. 2\sqrt{33}
C. 4\sqrt{33}
D. 12

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 62.

Dany jest trójkąt prostokątny ABC. Na przyprostokątnych AC i AB tego trójkąta obrano odpowiednio punkty D i G. Na przeciwprostokątnej BC wyznaczono punkty E i F takie, że kąt |DEC|=kąt |BGF|=90^{o} (zobacz rysunek). Wykaż, że trójkąt CDE jest podobny do trójkąta FBG.

Matura 2016 zadanie 29

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 63.

Jeden z kątów trójkąta jest trzy razy większy od mniejszego z dwóch pozostałych kątów, które różnią się o 50^{o}. Oblicz kąty tego trójkąta.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 64.

W trapezie równoramiennym dłuższa podstawa ma długość 21 cm, wysokość ma 12 cm a długość odcinka łączącego środki ramion wynosi 16 cm. Oblicz
a) Długość krótszej podstawy i długość ramienia trapezu.
b) Długość odcinków, na jakiej punkt przecięcia przekątnych dzieli każdą z nich.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 65.

W trapezie równoramiennym wysokość ma 8 cm i jest równa długości krótszej podstawy trapezu. Przedłużenia ramion trapezu przecinają się pod kątem prostym. Oblicz pole i obwód tego trapezu. Zapisz obliczenie.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 66.

Oblicz obwód trójkąta ABC, wiedząc, że kąt |BAC|=30^{o}, kąt|CBA|=60^{o} i wysokość poprowadzona z wierzchołka C ma długość 6 cm.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 67.

Wysokość opuszczona z wierzchołka A trójkąta ABC ma długość 12 cm i dzieli kąt |BAC| na kąt o miarach 45^{o} i 60^{o}. Oblicz pole trójkąta ABC.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 68.

Oblicz pole trójkąta równoramiennego w którym kąt między ramionami ma 40^{o} a ramię ma długość 5. Wynik podaj w zaokrągleniu do 0,1.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 69.

Jedna z przyprostokątnych trójkąta prostokątnego jest o 6 cm dłuższa od drugiej przyprostokątnej. Tangens jednego z kątów ostrych trójkąta wynosi \frac{2}{5}. Oblicz długość wysokości opuszczonej na przeciwprostokątną.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 70.

Obwód trójkąta równoramiennego jest równy 250. Wiedząc, że ramie tworzy z podstawą taki kąt alfa, że \alpha=\frac{5}{12}, oblicz pole trójkąta.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 71.

Krótsza przekątna równoległoboku ma długość 6 i tworzy z bokami równoległoboku kąt o miarach 60^{o} i 90^{o}. Oblicz pole i obwód równoległoboku.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 72.

Stosunek długości przekątnych rombu, którego bok ma długość 8 cm, jest równy 4:3. Oblicz pole tego rombu.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 73.

Oblicz pole i obwód trapezu prostopadłego, którego podstawy mają długości 18 cm i 12 cm, a kąt rozwarty ma miarę 120^{o}.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 74.

Jeśli mamy np trygonometrie i jest takie założenie (0,90) stopni albo czasem przedział od 0^{o} do 180^{o} i nie wiem o co w tym chodzi. Dla czego to jest takie ważne?

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 75.

Oblicz pole trójkąta prostokątnego wiedząc, że długość promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt wynosi r=2 cm, zaś długość okręgu opisanego na tym trójkącie wynosi R=6,5 cm.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 76.

W trójkącie prostokątnym wysokość poprowadzona z wierzchołka kąta prostego dzieli przeciwprostokątną na odcinki o długościach 4 cm i 9 cm. Znajdź pole tego trójkąta.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 77.

Przeciwległe wierzchołki rombu ABCD mają współrzędne A=(-3,0) i C=(9,6). Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków wiedząc, że pole rombu równa się 60.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 78.

Wysokości równoległoboku pozostają w stosunku 3:5, a jeden bok jest o 6 cm dłuższy od drugiego.

a) Oblicz obwód równoległoboku.
b) Wiedząc dodatkowo, że sinus kąta ostrego równoległoboku jest równy \sqrt{\frac{5}{3}}. Oblicz pole równoległoboku i długości jego wysokości.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 79.

W trójkącie prostokątnym przeciwprostokątna ma długość 8 cm, a kąt ostry ma miarę 37^{o}. Oblicz długość pozostałych boków trójkąta. Rozważ dwa przypadki.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 80.

Długości boków trójkąta są liczbami naturalnymi. Długość jednego boku jest równa 5, a różnica pozostałych jest równa 2. Czy taki trójkąt jest tylko jeden? Podaj przykłady.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 81.

W kwadracie o polu 10cm^{2} połączono kolejno środki boków. Oblicz pole wyznaczonego w ten sposób czworokąta.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 82.

W prostokącie ABCD przekątne AC i DB przecinają się w punkcie S. Pole trójkąta DSC jest równe 1dm^{2}

a) Oblicz pole prostokąta
b) Wiedząc dodatkowo, że |<BSC|=30^{o}, wyznacz długość przekątnych prostokąta.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 83.

W trójkącie ABC mamy dane: b=40 cm, \alpha=120^{o}, \beta=30^{o}. Oblicz długość pozostałych boków tego trójkąta.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 84.

Obwód trójkąta ABC jest równy 2p=507 m, a miary dwóch kątów są równe \alpha=66^{o}, \beta=42^{o}. Oblicz długość boków i pole tego trójkąta.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 85.

Dany jest trapez równoramienny ABCD o podstawach AB długości 12, CD długości 8 i ramieniu długości 6. Przedłużenia ramion AD i CB przecinają się w punkcie S. Ile jest równa długość odcinka AS?

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 86.

Jedna z podstaw trapezu wpisanego w okrąg jest średnica okręgu. Stosunek obwodu trapezu do sumy długości jego podstaw jest równy 3:2. Oblicz cosinus kąta ostrego przy podstawie trapezu.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 87.

Wierzchołek C trójkąta ABC jest punktem przecięcia się prostych o równaniach y+x+2 i y=-2x+14 a wierzchołki A i B są punktami przecięcia się tych prostych z osią OX. Oblicz pole i obwód trójkąta ABC.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 88.

Wierzchołki trójkąta ABC opuszczona na bok AB ma długość 4 i tworzy z bokiem BC kąt o mierze 45^{o} oraz z bokiem AC kąt o mierze 60^{o}. Oblicz pole i obwód trójkąta ABC.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 89.

Krótsza przekątna trapezu prostokątnego ma długość 4 i dzieli go na dwa trójkąty prostokątne. Wyznacz tangens kąta, jaki tworzy ta przekątna z dłuższą podstawą, wiedząc, że wysokość trapezu ma długość 3.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 90.

Oblicz pole i obwód trapezu prostokątnego, którego podstawy mają długości 18 cm i 12 cm, a kąt rozwarty ma miarę 120^{o}.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 91.

W okrąg o promieniu 3 wpisano trójkąt tak, że jeden z boków trójkąta jest średnicą okręgu. Sinus jednego z kątów ostrych tego trójkąta jest równy \frac{2}{3}. Oblicz pole tego trójkąta.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 92.

Przekątna AC czworokąta ABCDma długość 20 a przekątna BD ma długość 18. Środki boków tego czworokąta połączono odcinkami otrzymując czworokąt KLON. Oblicz obwód tego czworokąta.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 93.

Z wierzchołków prostokąta poprowadzono proste prostopadłe do jego przekątnej. Proste te dzielą przekątną na trzy równe części, każda o długości 5 cm. Oblicz pole i obwód tego prostokąta.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 94.

Oblicz pole trójkąta, w którym suma wysokości h1 i h2 jest równa 21.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 95.

Oblicz pole trapezu prostokątnego, którego górna podstawa jest o 4\sqrt{3} krótsza od dolnej.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 96.

Oblicz długość przekątnej d trapezu prostokątnego, wiedząc, że dłuższe ramie jest trzy razy krótsze od sumy długości podstaw.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 97.

Oblicz pole przedstawionego trójkąta prostokątnego.

Oblicz pole przedstawionego trójkąta prostokątnego

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 98.

Wyznacz kąt alfa.

Wyznacz kąt alfa.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 99.

Odcinek CD jest obrazem odcinka o końcach A(1,1) i B(2,0) w jednokładności o środku S(1,-1) i skali k=-2 Oblicz pole czworokąta ABCD. Sporządź rysunek.

Darmowe korepetycje - jednokładność

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 100.

W trójkąt równoramienny wpisano okrąg o promieniu r. Wyznaczyć pole trójkąta, jeżeli środek okręgu opisanego na tym trójkącie leży na okręgu wpisanego w ten trójkąt. Ile rozwiązań ma to zadanie? Sporządź rysunek.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 101.

W trójkąt równoramienny wpisano okrąg o promieniu r. Wyznaczyć pole trójkąta, jeżeli środek okręgu opisanego na tym trójkącie leży na okręgu wpisanego w ten trójkąt. Ile rozwiązań ma to zadanie? Sporządź rysunek.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 102.

W okrąg o promieniu 13 cm wpisano rozwartokątny trójkąt równoramienny o podstawie 10 cm. Oblicz ramie i pole tego trójkąta.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 103.

W trójkącie prostokątnym długość przeciwprostokątnej jest równa 8 cm, a jeden z kątów ostrych ma miarę 30^{o}. Oblicz długość okręgu wpisanego w ten trójkąt.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 104.

Podstawa AB trójkąta równoramiennego ABC ma długość 4 cm, a ramiona długość 6 cm. Oblicz długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 105.

Kąt rozwarty równoległoboku o bokach 6 cm i 7 cm ma miarę 150^{o}. Oblicz pole tego równoległoboku.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 106.

Krótsza przekątna trapezu prostokątnego dzieli trapez na dwa trójkąty z których jeden jest równoboczny. Znajdź pole tego trapezu wiedząc, że jego wysokość wynosi 2.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 107.

Stosunek długości ramion trapezu opisanego na okręgu o promieniu 6 cm wynosi 3:4. Obwód trapezu jest równy 70 cm. Oblicz długość podstaw tego trapezu.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 108.

W okrąg o promieniu 13 cm wpisano ostrokątny trójkąt równoramienny o wysokości 20 cm prowadzonej do podstawy. Oblicz ramię tego trójkąta i jego pole.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 109.

Wysokość trapezu równoramiennego ma długość \sqrt{6} cm a jedna z podstaw jest trzy razy dłuższa od drugiej. Oblicz pole wiedząc, że \sin{} kąta ostrego jest równy 0,2.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 110.

Sinus kąta ostrego \alpha w trójkącie prostokątnym jest równy \frac{1}{3}. Przyprostokątna przyległa do kąta \alpha ma długość 5 cm. Oblicz pole tego trójkąta.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 111.

Na trapezie równoramiennym ABCD opisano okrąg o promieniu 10cm. Oblicz długość ramion oraz długość przekątnej trapezu, jeśli |AB|=20 cm, |CD|=12 cm.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 112.

Obwód koła równy jest 30\pi cm. Cięciwa MP przecina średnicę AB pod kątem 60^{o} i dzieli ją w stosunku 1:5. Oblicz odległość środka koła od cięciwy MP.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 113.

Wierzchołek trójkąta równoramiennego ma 120^{o}. Podstawa to 5\sqrt{3}. Oblicz promień koła wpisanego w ten trójkąt

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 114.

Obwód trójkąta prostokątnego wynosi 300. Wyznaczyć długości boków trójkąta wiedząc, że długości tych boków tworzą ciąg arytmetyczny.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 115.

Pole prostokąta jest równe 108 cm^{2}. Oblicz długości boków prostokąta wiedząc,że długości boków oraz długość przekątnej tworzą ciąg arytmetyczny.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 116.

Na rysunku obok przedstawiono trójkąt ABC. Wykorzystując dane z rysunku, oblicz obwód L tego trójkąta. Wynik podaj w zaokrągleniu do dwóch miejsc po przecinku.

Wykorzystując dane z rysunku, oblicz obwód L trójkąta

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 117.

Rysunek obok przedstawia podłogę w sali konferencyjnej. Cała podłoga musi być wykończona parkietem. Ile metrów kwadratowych parkietu należy przygotować, jeśli na ścianki należy doliczyć 10\% powierzchni?

Obliczanie pola powierzchni

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 118.

Z punktu K oddalonego o 30 m od masztu, widać wierzchołek masztu pod kątem 30^{o}. Z jakiej odległości widać ten wierzchołek pod kątem 60^{o}?

Zobacz rozwiązanie


Zadanie 119.

Przekątne równoległoboku przecinają się pod kątem 60^{o}. Jedna z nich jest 2 razy krótsza od drugiej. Podaj miary kątów między krótszym bokiem równoległoboku i jego przekątnymi.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 120.

Oblicz miarę największego kąta w trójkącie o bokach, których długości wynoszą a=3, b=5 i c=7.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 121.

Dany jest trójkąt, którego boki mają długości a=4, b=5 i c=6. Oblicz pole tego trójkąta, promień okręgu wpisanego, promień okręgu opisanego w ten trójkąt oraz długość środkowej i dwusiecznej poprowadzonych z wierzchołka najmniejszego kąta tego trójkąta.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 122.

Dany jest trójkąt, którego boki mają długości a=4, b=5 i c=6. Oblicz pole tego trójkąta, promień okręgu wpisanego, promień okręgu opisanego w ten trójkąt oraz długość środkowej i dwusiecznej poprowadzonych z wierzchołka najmniejszego kąta tego trójkąta.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 123.

Dany jest trójkąt, którego boki mają długości 3 i 5, a kąt między nimi ma miarę 120^{o}.Oblicz pole tego trójkąta, a następnie, wykorzystując to pole, oblicz długość dwusiecznej kąta 120^{o}.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 124.

W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości 15 i 20. Oblicz odległości środka okręgu wpisanego w ten trójkąt od wszystkich wierzchołków tego trójkąta.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 125.

W trójkącie równoramiennym ABC ramię jest 2 razy dłuższe od podstawy. Oblicz stosunek pól figur, na jakie symetralna boku AC rozcina trójkąt ABC.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 126.

Oblicz długość podstawy trójkąta równoramiennego ABC wiedząc, że jego ramię ma długość 16 i że odległość środka ramienia od przeciwległego wierzchołka podstawy wynosi 12.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 127.

Wysokość trójkąta prostokątnego poprowadzona z wierzchołka kąta prostego dzieli przeciwprostokątną na dwa odcinki o długości 3 i 7. Oblicz pole koła wpisanego w ten trójkąt.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 128.

Przekątne równoległoboku mają długości 4 i 8, a kąt między tymi przekątnymi ma miarę 30^{o}. Pole tego równoległoboku jest równe.

A. 32
B. 16
C. 12
D. 8

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 129.

Punkty A, B, C i D leżą na okręgu o środku S. Cięciwa CD przecina średnicę AB tego okręgu w punkcie E tak, że |BEC|=100^{o}. Kąt środkowy ASC ma miarę 110^{o} (zobacz rysunek).

Matura poprawkowa 2016 zadanie 19

Kąt wpisany BAD ma miarę.

A. 15^{o}
B. 20^{o}
C. 25^{o}
D. 30^{o}

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 130.

W trapezie ABCD o podstawach AB i CD przekątne AC oraz BD przecinają się w punkcie S. Wykaż, że jeżeli |AS|=\frac{5}{6}|AC|, to pole trójkąta ABS jest 25 razy większe od pola trójkąta DCS.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 131.

Na dużym pastwisku znajduje się chata w kształcie trójkąta
równobocznego o boku długości 4 metry. W jednym z jej rogów wbity
jest w ziemię palik, do którego uwiązana jest koza na postronku.
Postronek ma długość 8 metrów. Jaka jest maksymalna dostępna kozie
powierzchnia pastwiska?

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 132.

Jeden bok trójkąta prostokątnego równoramiennego ma długość (\sqrt{2}+1) cm. Czy ten trójkąt może być przystający do trójkąta prostokątnego równoramiennego, którego jeden bok ma długość (2+\sqrt{2}) cm?

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 133.

Jedna z przekątnych czworokąta wypukłego dzieli go na dwa trójkąty przystające. Czy trójkąty powstałe po podzieleniu tego czworokąta drugą przekątną również są przystające? Odpowiedź uzasadnij.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 134.

W prostokącie P_{1} kąt rozwarty między przekątnymi ma miarę 140^{o} . W prostokącie P_{2} kąt między przekątną, a jednym z jego boków ma miarę 40^{o} . Czy te prostokąty są podobne?

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 135.

Prostokąt P_{1} o polu 100(\sqrt{5}+1) cm^{2} rozcięto i otrzymano kwadrat oraz prostokąt P_{2} o polu 100\sqrt{5} cm^{2}.

a) Oblicz pole otrzymanego kwadratu.
b) Czy prostokąty P_{1} i P_{2} są podobne? Jeśli tak, oblicz skalę podobieństwa prostokąta P_{1} do prostokąta P_{2}.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 136.

Trójkąty prostokątne ABC i EAD są położone tak jak na rysunku. Odcinki AD i BC są prostopadłe. Uzasadnij, że trójkąty ABC i EAD są podobne.

Uzasadnij, że trójkąty ABC i EAD są podobne.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 137.

Punkt C=(0,2) jest wierzchołkiem trapezu ABCD, którego podstawa AB jest zawarta w prostej o równaniu y=2x-4. Wskaż równanie prostej zawierającej podstawę CD.
A. y=\frac{1}{2}x+2
B. y=-2x+2
C. y=-\frac{1}{2}x+2
D. y=2x+2

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 138.

Jeśli trójkąt ABC i A'B'C' są podobne, a ich pola są, odpowiednio, równe 25cm^2 i 50cm^2, to skala podobieństwa \frac{A'B'}{AB} jest równa
A. 2
B. \frac{1}{2}
C. \sqrt2
D. \frac{\sqrt{2}}{2}

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 139.

Wysokość trapezu równoramiennego o kącie ostrym 60^o i ramieniu długości 2\sqrt{3} jest równa
A. \sqrt{3}
B. 3
C. 2\sqrt{3}
D. 2

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 140.

Kąt środkowy oparty na łuku, którego długość jest równa \frac{4}{9} długości okręgu, ma miarę
A. 160^o
B. 80^o
C. 40^o
D. 20^o

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 141.

Środek S okręgu opisanego na trójkącie równoramiennym ABC, o ramionach AC i BC, leży wewnątrz tego trójkąta (zobacz rysunek).
Okrąg o środku S
Wykaż, że miara kąta wypukłego ASB jest cztery razy większa od miary kąta wypukłego SBC.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 142.

Kąt CAB trójkąta prostokątnego ACB ma miarę 30^o. Pole kwadratu DEFG, wpisanego w ten trójkąt (zobacz rysunek), jest równe 4. Oblicz pole trójkąta ABC.
Trójkąt o kącie 30

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 143.

Dany jest okrąg o środku w punkcie O. Prosta KL jest styczna do tego okręgu w punkcie L, a środek O tego okręgu leży na odcinku KM (zob. rysunek). Udowodnij, że kąt KML ma miarę 31^{o}.

rysunek7

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 144.

W trójkącie równoramiennym wysokość poprowadzona do podstawy ma długość \sqrt[6]{6}. Ramię jest o 30\% krótsze od podstawy. Oblicz obwód tego trójkąta.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 145.

Boki trójkąta mają długość 13 cm, 20 cm i 21 cm, a pole tego trójkąta jest równe 126. Jaką długość ma najkrótsza z wysokości tego trójkąta?

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 146.

Przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego równoramiennego ma długość 10 cm. Oblicz pole i obwód tego trójkąta.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 147.

Na trójkącie równoramiennym o polu równym 3\sqrt{3} opisano okrąg, którego promień wynosi 2. Oblicz długość wysokości tego trójkąta.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 148.

W trójkącie prostokątnym o kącie prostym przy wierzchołku C obrano punkt P tak, że trójkąty PAB, PBC i PAC maja równe pola. Oblicz odległość punktu P od wierzchołka C, jeśli wiadomo, że PA^{2}+PB^{2}=m.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 149.

W trójkącie prostokątnym przyprostokątne maja długość 12 i 5. Przez wierzchołek kąta prostego poprowadzono prostą, która podzieliła ten trójkąt na dwa trójkąty o równych obwodach. Oblicz stosunek długości promieni okręgów wpisanych w powstałe trójkąty.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 150.

Dany jest prostokąt ABCD. Okrąg wpisany w trójkąt BCD jest styczny do przekątnej BD w punkcie N. Okrąg wpisany w trójkąt ABD jest styczny do boku AD w punkcie M, a środek S tego okręgu leży na odcinku MN, jak na rysunku.

Matura 2016 rozszerzona zadanie 9

Wykaż, że |MN|=|AD|.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 151.

W trójkącie prostokątnym ABC kąt przy wierzchołku A ma miarę 30^{o}, a dłuższa przyprostokątna ma długość 6 cm. Długość przeciwprostokątnej jest równa:

A. 4\sqrt{3} cm
B. 6\sqrt{3} cm
C. 6\sqrt{2} cm
D. 6 cm

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 152.

Kąty \alpha i \beta są przyległe i \alpha jest o 35^{o} większy od \beta. Wynika stąd że:

A. \beta=5^{o}
B. \beta=72,5^{o}
C. 107,5^{o}
D. 162,5^{o}

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 153.

Prosta l jest styczna do okręgu o środku S w punkcie A. Kąt między prostą l i cięciwą AB jest równy 72^{o}. Zatem kąt ASB ma miarę:

A. 124^{o}
B. 136^{o}
C. 144^{o}
D. 156^{o}

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 154.

Dany jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych AC, BCC takich, że |AC|=6 i |BC|=8. Okrąg o środku C i promieniu r=|AC przecina przeciwprostokątna AB w punkcie P. Wyznacz długość odcinka BP

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 155.

Znajdź długość odcinka oznaczoną na rysunku literą x.

trojkat

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 156.

Rura o średnicy 2 m będzie pokryta warstwą izolacyjną o grubości 80 mm. O ile centymetrów kwadratowych wzrośnie pole przekroju poprzecznego rury przyjmując, że liczba \pi ma wartość 3,14.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 157.

Długość przekątnych rombu różnią się o 2 cm. Pole tego rombu jest równe 24 cm^{2}. Oblicz miarę kąta ostrego tego rombu.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 158.

W kwadrat ABCD wpisano kwadrat EFGH, który zajmuje \frac{3}{4} jego powierzchni. Wyznaczyć wartości wszystkich funkcji trygonometrycznych mniejszego z kątów trójkąta EBF.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 159.

Znajdź długość odcinka oznaczoną na rysunku literą x.

twierdzenie-pitagorasa-znajdz-dlugosc-odcinka-x

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 160.

Wysokość trójkąta równobocznego ma długość 5\sqrt{3} cm. Oblicz:

a) Pole trójkąta,
b) Promień koła wpisanego w trójkąt,
c) Promień okręgu opisanego na tym trójkącie.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 161.

Pole równoległoboku o bokach o długości 4 cm i 8 cm jest równe 24 cm^{2}. Wyznacz długości wysokości tego równoległoboku.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 162.

W kole o promieniu równym 8 poprowadzono cięciwę opartą na łuku o kącie środkowym, którego miara wynosi 120^{o}. Oblicz odległości tej cięciwy od środka okręgu.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 163.

Przyprostokątne trójkąta ABC mają długości 3 i 9. Oblicz pole kwadratu wpisanego w ten trójkąt.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 164.

Podstawa trójkąta ABC ma długość 12. Kąty przy podstawie mają miary 45^{o} i 30^{o}. Oblicz pole i obwód tego trójkąta.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 165.

Znajdź długość odcinka oznaczoną na rysunku literą x.

darmowe

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 166.

Uzasadnij że w trójkącie o bokach długości 4, 4\sqrt{3} i 8, jeden z kątów ma miarę dwa razy mniejszą od miary innego kąta tego trójkąta.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 167.

Wysokość pewnego trójkąta o obwodzie 18 są równe 2\sqrt{6}, \frac{12\sqrt{6}}{7}, \frac{12\sqrt{6}}{5}. Oblicz długości boków tego trójkąta.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 168.

Dwa okręgi każdy o promieniu 8, są styczne zewnętrznie. Ze środka jednego z nich poprowadzono styczne do drugiego okręgu. Oblicz pole zacieniowanej figury.

dwa-okregi

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 169.

Dwa okręgi o środkach A i B są styczne zewnętrznie i każdy z nich jest jednocześnie styczny do ramion tego samego kąta prostego. Udowodnij, że stosunek promienia większego z tych okręgów do promienia mniejszego jest równy 3+2\sqrt{2}.

dwa-rozne-okregi

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 170.

Dany jest trójkąt ABC taki, że |AC|=2|AB|. Miara kąta ACB jest o 30^{o} mniejsza od miary kąta ABC. Oblicz tangens kąta ACB.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 171.

Dwusieczne kątów A i B trójkąta ABC przecinają się pod kątem 130^{o}. Miara kąta C jest równa

A. 50^{o}
B. 60^{o}
C. 70^{o}
D. 80^{o}

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 172.

Pole trapezu jest równe 80 cm^{2}, a wysokość i krótsza podstawa tego trapezu mają po 8 cm długości. Wówczas dłuższa podstawa trapezu ma długość.

A. 12 cm
B. 10 cm
C. 8 cm
D. 6 cm

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 173.

Odcinek CD jest średnicą okręgu o środku O (zobacz rysunek). Jeżeli kąt BCD ma miarę 25^{o}, to kąt \alpha ma miarę

A. 65^{o}
B. 55^{o}
C. 50^{o}
D. 45^{o}

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 174.

Spośród wierzchołków sześciokąta foremnego o boku długości 4 wybieramy daw wierzchołki i rysujemy odcinek o końcach w tych wierzchołkach. Ile odcinków, których długość jest liczbą całkowitą, otrzymamy w ten sposób?

A. 15
B. 12
C. 9
D. 6

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 175.

Funkcja g przyporządkowuje długości podstawy trójkąta równoramiennego o obwodzie 20 długość ramienia tego trójkąta. Podaj wzór funkcji g i określ jej dziedzinę.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 176.

Wykaż, że odwrotność sumy tangensów kątów ostrych trójkąta prostokątnego jest równa iloczynowi sinusów tych kątów.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 177.

W trójkącie równoramiennym o podstawie długości 6 i ramieniu długości 5 wpisano kwadrat, którego dwa wierzchołki należą do podstawy, a dwa pozostałe- do ramion trójkąta. Oblicz długość boku kwadratu.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 178.

Jedna z przekątnych równoległoboku ma długość 12 i dzieli kąt ostry tego równoległoboku na kąty o miarach 30^{o} i 45^{o}. Oblicz obwód i pole równoległoboku.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 179.

Miary kątów w trójkącie równoramiennym są równe 30^{o}, 75^{o} i 75^{o}. Ramię tego trójkąta ma długość 4. Pole trójkąta jest równe:

A. 16
B. 16\sqrt{3}
C. 4
D. 4\sqrt{3}

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 180.

Długość ramienia BC trapezu przedstawionego na rysunku jest równa:

A. 24\sqrt{7}
B. 25
C. 17
D. \sqrt{373}

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 181.

Kąt \alpha na rysunku obok ma miarę:

A. 50^{o}
B. 60^{o}
C. 80^{o}
D. 110^{o}

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 182.

Krótsza przekątna rombu ma długość 6 cm, a jeden z jego kątów ma miarę 140^{o}. Oblicz długość drugiej przekątnej. Wynik podaj z dokładnością do części dziesiętnych.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 183.

Promień okręgu opisanego na prostokącie o bokach długości 3 i 4 jest równy:

A. 1,5
B. 2
C. 2,5
D. 5

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 184.

Równoboczny trójkąt ABP jest wpisany w okrąg. Prosta l jest styczna do okręgu w punkcie P (rysunek obok). Wówczas:

A. \alpha=30^{o}
B. \alpha<30^{o}
C. \alpha=60^{o}
D. \alpha>60^{o}

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 185.

Na rysunku przedstawiono trapez równoramienny o podstawach długości 6 cm i 10 cm oraz wysokości 2 cm.

Ramię tego trapezu ma długość:

A. 2 cm
B. 2\sqrt{2} cm
C. 2\sqrt{5} cm
D. 4 cm

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 186.

Bok sześciokąta foremnego ABCDEF ma długość 6 cm. Oblicz promień koła wpisanego w trójkąt BDF (rysunek obok).

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 187.

Punkt A(4,8) należy do okręgu, który jest styczny od osi OX w punkcie B(4,0). Oblicz różnicę między polem kwadratu wpisanego w ten okrąg a polem trójkąta równobocznego wpisanego w ten okrąg.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 188.

Dany jest okrąg o środku O i promieniu 4. Z punktu P poprowadzono dwie styczne do tego okręgu w punktach K i L (rysunek obok). Wiedząc, że odległość punktu P od środka okręgu jest równa 8, oblicz pole trójkąta KOL.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 189.

Wykaż, że proste przechodzące przez wierzchołek równoległoboku i środki boków do których on nie należy, dzielą przekątne równoległoboku na trzy równe części.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 190.

Na boku AB równoległoboku ABCD obrano taki punkt E, że |AE|=2|EB|. Odcinki DE i DB przecinają przekątną AC odpowiednio w punktach P i S (zobacz rysunek). WYkaż, że pole trójkąta PSD stanowi 5\% pola równoległoboku ABCD.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 191.

W danym trapez można wpisać okrąg i jednocześnie na tym trapezie można opisać okrąg. Wysokość tego trapezu jest równa 8, a jego kąt ostry ma miarę 30^{o}. Oblicz promień okręgu opisanego na tym trapezie.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 192.

W kwadrat ABCD o boku mającym długość 8 wpisujemy trójkąty równoramienne AMN w następujący sposób: MBC, NDC, |MN|=|AN| oraz M\neq B, M\neq C, N\neq D i N\neq C (jak na rysunku obok). Oblicz długość odcinka MB dla takiego trójkąta AMN, którego pole jest najmniejsze.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 193.

Dany jest trójkąt ABC, w którym bok BC jest dwa razy dłuższy od boku AB, a kąt ABC jest dwa razy większy od kąta BAC. Pokaż, że |AC|^{2}=6|AB|^{2}.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 194.

W trapez równoramienny ABCD wpisano okrąg o środku O. Pokaż, że średnia arytmetyczna długości podstaw trapezu ABCD jest równa \sqrt{|OA|^{2}+|OD|^{2}}.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 195.

Przez wierzchołek C prostokąta ABCD przeprowadzono prostą, która przecieła proste AB i AD w punktach K i L odpowiednio (rysunek). Wykaż, że:
\frac{|AB|}{|AK|}+\frac{|AD|}{|AL|}=1.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 196.

Punkt P leży na przekątnej AC kwadratu ABCD (rys. 1). Punkty Q i R są rzutami prostokątnymi punktu P odpowiednio na proste CD i DA. Wykazać, że BP=RQ.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 197.

Dany jest trójkąt ostrokątny ABC, przy czym kąt ACB=45^{o}. Wysokości trójkąta ABC przecinają się w punkcie H (rys. 2). Wykazać, że CH=AB.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 198.

Na bokach BC, CA i AB trójkąta ABC zbudowano po jego zewnętrznej stronie trójkąty równoboczne BCD, CAE i ABF (rys. 3). Wykazać, że AD=BE.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 199.

Punkt P i Q leżą odpowiednio na bokach BC i CD kwadratu ABCD, przy czym kąt PAQ=45^{o} (rys. 4). Dowieść, że BP+DQ=PQ.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 200.

Dany jest czworokąt wypukły ABCD, w którym kąt DAB= kątowi ABC. Symetralne odcinków AD i BC przecinają się w punkcie M leżącym na odcinku AB (rys. 5). Udowodnić, że AC=BD.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 201.

Dany jest trójkąt ABC, w którym kąt A=90^{o} oraz AB=AC (rys. 6). Punkt M jest środkiem boku AB. Prosta przechodząca przez punkt A i prostopadła do prostej CM przecina bok BC w punkcie P. Wykaż, że kąt AMC= kątowiBMP.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 202.

Dany jest trójkąt ABC, w którym kąt A=90^{o} oraz AB=AC (rys. 7). Punkty D i E leżą na boku AC, przy czym AD=CE. Prosta przechodząca przez punkt A i prostopadła do prostej BD przecina bok BC w punkcie P. Wykaż, ze kąt PEC= kątowi BDA.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 203.

Na bokach BC i CA trójkąta ABC zbudowano po jego zewnętrznej stronie kwadraty BCDE oraz CAFG (rys. 8). Prosta przechodząca przez punkt C i prostopadła do prostej DG przecina odcinek AB w punkcie M. Udowodnij, że AM=MB.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 204.

Na bokach BC, CA i AB trójkąta ABC zbudowano po jego zewnętrznej stronie trójkąty równoboczne BCD, CAE i ABF (rys. 9). Na boku AB zbudowano po wewnętrznej stronie trójkąta ABC taki trójkąt ABF, że kąt BAF= kątowi ABF=30^{o}. Dowieść, że DF=EF.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 205.

Dany jest trójkąt ABC, w którym kąt ACB=60^{o} oraz AC<BC. Punkt D leży na boku BC, przy czym BD=AC (rys. 12). Punkt E jest punktem symetrycznym do punktu A względem punktu C. Udowodnić, że AB=DE.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 206.

Prostokąt ABCD, w którym AB=3\cdot{}AD podzielono na trzy kwadraty: AEFD, EGHF oraz GBCH (rys. 13). Wykazać, że kąt AED+ kąt AGD+ kąt ABD=90^{o}.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 207.

Liczba przekątnych ośmiokąta foremnego wynosi:

A. 32
B. 14
C. 40
D. 20

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 208.

W trójkącie równoramiennym podstawa ma długość 48, a ramię ma długość 25. Wysokość opuszczona na podstawę ma długość:

A. 7
B. \sqrt{1201}
C. 24
D. \sqrt{674}

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 209.

Jeśli okrąg opisany na kwadracie ma promień 6, to długość boku tego kwadratu wynosi:

A. 6\sqrt{2}
B. 3\sqrt{2}
C. 12
D. 6

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 210.

Okrąg o środku P został podzielony na osiem równych łuków. Miara kąta wpisanego BGD zaznaczonego na rysunku wynosi:

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 211.

Odcinki KL i NO są równoległe. Długości odcinków MN, NO i KL są odpowiednio równe 2, 5, 15. Długość odcinka KN jest równa:

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 212.

Przekątna BD prostokąta ABCD ma długość 18. Bok BC tego prostokąta ma długość 12. Długość AB jest równa:

A. 5\sqrt{6}
B. 6\sqrt{5}
C. 8
D. 9\sqrt{2}

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 213.

Jeśli pole trójkąta równobocznego jest równe 9\sqrt{3}, to bok tego trójkąta ma długość:

A. 3\sqrt{2}
B. 3\sqrt{3}
C. 4,5\sqrt{3}
D. 6

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 214.

Kąt \alpha wpisany w okrąg (rysunek obok) ma miarę równą:

A. 70^{o}
B. 115^{o}
C. 145^{o}
D. 150^{o}

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 215.

W trapezie równoramiennym (rysunek obok) kąt między ramieniem a dłuższą podstawą ma miarę 80^{o}. Jeżeli kąt \alpha jest katem między ramieniem a krótszą podstawą, to:

A. \frac{\alpha}{2}=30^{o}
B. \frac{\alpha}{2}=50^{o}
C. \frac{\alpha}{2}=60^{o}
D. \frac{\alpha}{2}=100^{o}

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 216.

Kąt ostry rombu ma miarę 30^{o}, a jego bok ma długość 4. Pole tego rombu jest równe:

A. 4
B. 4\sqrt{3}
C. 8
D. 8\sqrt{3}

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 217.

W okrąg o promieniu 2\sqrt{5} wpisano trójkąt prostokątny, którego jedna przyprostokątna jest dwa razy dłuższa od drugiej. Oblicz długość krótszej przyprostokątnej.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 218.

Przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają długości 6-\sqrt{13} i 6+\sqrt{13}. Oblicz długość przeciwprostokątnej.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 219.

Przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego ma długość \sqrt{5}, a jedna z przyprostokątnych jest dwa razy dłuższa od drugiej. Oblicz pole trójkąta.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 220.

Przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają długości 6 i 8. Oblicz wysokość opuszczoną na przeciwprostokątną.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 221.

Jedna z przyprostokątnych trójkąta prostokątnego jest trzy razy dłuższa od drugiej, a wysokość opuszczona na przeciwprostokątną wynosi 3\sqrt{10}. Oblicz długość przyprostokątnych.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 222.

Trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym o kącie prostym przy wierzchołku C. Wyznacz miary kątów \alpha i \beta, jeśli odcinek:

A) CD jest wysokością trójkąta,
B) AD jest zwarty w dwusiecznej kąta CAB.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 223.

Przeciwprostokątna w trójkącie prostokątnym ma długość 12. Środkowe trójkąta przecinają się w punkcie P. Oblicz długość środkowej opuszczonej na przeciwprostokątną oraz długości odcinków, na które punkt P dzieli środkową.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 224.

W trójkącie ABC środkowa opuszczona z wierzchołka C jest dwa razy krótsza od boku AB. Wyznacz miarę kąta ACB.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 225.

Środkowe w trójkącie równoramiennym mają długości: 12, 12 i 3. Oblicz długości boków tego trójkąta.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 226.

Długość podstawy trójkąta równoramiennego wynosi 4\sqrt{5}, a wysokość opuszczona na tę podstawę jest równa 4. Oblicz długość ramienia trójkąta oraz wysokość opuszczoną na ramię trójkąta.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 227.

W trójkącie równoramiennym ramię jest dwa razy dłuższe od wysokości opuszczonej na podstawę. Oblicz pole trójkąta, jeśli podstawa ma długość 12.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 228.

Przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają długości 6 i 8. Oblicz promień okręgu opisanego na tym trójkącie i promień okręgu wpisanego w ten trójkąt.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 229.

W trójkącie równoramiennym o wysokości 4 cm i podstawie długości 6 cm wpisano okrąg. Oblicz promień tego okręgu.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 230.

Na okręgu o promieniu 2 opisano trójkąt równoramienny o kącie przy podstawie 30^{o}. Oblicz obwód tego trójkąta.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 231.

Korzystając z danych zamieszczonych na rysunku, oblicz pole trójkąta.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 232.

Promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym wynosi 5, a jedna z przyprostokątnych tego trójkąta jest dwa razy dłuższa od drugiej. Oblicz promień okręgu wpisanego w ten trójkąt.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 233.

Sprawdź, czy trójkąt o podanych długościach boków są podobne. Jeżeli tak, to podaj skalę podobieństwa.

A. 6, 9, 12 oraz 3, 2, 4
B. \sqrt{3}, \sqrt{6}, 3 oraz \sqrt{3}, \sqrt{2}, 1

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 234.

Trójkąt ABC jest prostokątny (rysunek niżej). Wykaż, że trójkąty ABC, ACD i CBD są podobne. Oblicz obwód trójkąta ACD.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 235.

W trójkącie prostokątnym przeciwprostokątna ma długość 6. Wysokość opuszczona na przeciwprostokątną dzieli ją w stosunku 1:2. Oblicz długości przeciwprostokątnych tego trójkąta.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 236.

Przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają długości \sqrt{5} i 2\sqrt{5}. Oblicz długości odcinków, na jakie wysokości opuszczona z wierzchołka kąta prostego przedzieliła przeciwprostokątną.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 237.

Dany jest trójkąt prostokątny ABC (rysunek okob). Punkt D jest środkiem odcinka AC. Wykaż, że trójkąty ABC i ADE są podobne. Oblicz długość odcinka DE, jeśli |BC|=5 i |CD|=6.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 238.

Odcinki AB i CD są równoległe (rysunek obok). Oblicz x i y.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 239.

W trójkącie prostokątnym wysokość opuszczona na przeciwprostokątną dzieli ją w stosunku 9:16. Oblicz stosunek:

A. Długości przyprostokątnych tego trójkąta.
B. Pól trójkątów, na które wysokość dzieli ten trójkąt.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 240.

Wykaż, że pole koła opisanego na kwadracie jest dwa razy większe od pola koła wpisanego w ten kwadrat.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 241.

Promień koła opisanego na kwadracie jest o 2 większy od promienia koła wpisanego w ten kwadrat. Oblicz sumę tych promieni.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 242.

Pole koła opisanego na prostokącie wynosi 40\pi. Jeden z boków prostokąta jest trzy razy dłuższy od drugiego. Oblicz obwód tego prostokąta.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 243.

Pole rombu wynosi 6, a jedna z przekątnych tego rombu ma długosć 4. Oblicz długości boku i wysokości tego rombu.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 244.

Pole rombu wynosi 36, a jedna z przekątnych tego rombu jest dwa razy dłuższa od drugiej. Oblicz długość boku tego rombu i pole koła wpisanego w ten romb.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 245.

Oblicz cosinus kąta ostrego rombu o boku 3 i wysokości [rex]2.</p>
<p><a href=Zobacz rozwi?zanie wideo:


Zadanie 246.

Trapez na rysunku jest rwnoramienny. Oblicz jego pole.

Zobacz rozwi?zanie wideo:


Zadanie 247.

W trapezie rwnoramiennym krtsza podstawa i wysoko?? maj? d?ugo?? " />3, a d?ugo?? przek?tnej jest rwna 5. Oblicz obwd i pole tego trapezu.</p>
<p><a href=Zobacz rozwi?zanie wideo:


Zadanie 248.

Oblicz wysoko?? trapezu przedstawionego na rysunku.

Zobacz rozwi?zanie wideo:


Zadanie 249.

A. Oblicz pole rwnoleg?oboku o bokach " />5 i 4 oraz k?cie ostrym 45^{o}.<br />
B. Przek?tne rwnoleg?oboku maj? d?ugo?ci 8 i 10, a k?t mi?dzy nimi jest rwny 30^{o}. Oblicz pole tego rwnoleg?oboku.</p>
<p><a href=Zobacz rozwi?zanie wideo:


Zadanie 250.

Wyznacz miary k?tw " />\alpha i \beta.</p>
<p><a href=

Zobacz rozwi?zanie wideo:


Zadanie 251.

Wyznacz miar? k?ta " />\alpha.</p>
<p><a href=

Zobacz rozwi?zanie wideo:


Zadanie 252.

Z punktu " />A le??cego na okr?gu poprowadzono dwie ci?ciwy - AB i AC. Miara k?ta zawartego mi?dzy styczn? poprowadzon? do okr?gu w punkcie A a ci?ciw? AB zawieraj?c? ?uk AB wynosi 40^{o}, a mi?dzy styczn? a ci?ciw? AC ma 70^{o}. Wyznacz miary k?tw trjk?ta ABC</p>
<p><a href=Zobacz rozwi?zanie wideo:


Zadanie 253.

W okr?gu o promieniu " />6 poprowadzono ci?ciw? AB. K?t mi?dzy t? ci?ciw? a styczn? do okr?gu w punkcie A wynosi 45^{o}. Oblicz d?ugo?ci ?ukw okr?gu wyznaczonych przez ci?ciw? AB.</p>
<p><a href=Zobacz rozwi?zanie wideo:


Zadanie 254.

Wycinek ko?owy o k?cie ?rodkowym " />120^{o} i polu 3\pi zwini?to w sto?ek. Promie? podstawy tego sto?ka jest rwny:</p>
<p>A. 2,5<br />
B. 2<br />
C. 1,5<br />
D. 1</p>
<p><a href=Zobacz rozwi?zanie wideo:


Zadanie 255.

Pole powierzchni bocznej sto?ka jest " />4 razy wi?kszy od pola podstawy sto?ka. Wyznacz sinus k?ta rozwarcia sto?ka.</p>
<p><a href=Zobacz rozwi?zanie wideo:


Zadanie 256.

Niech " />x oznacza sum? d?ugo?ci podstaw dowolnego trapezu. W?rd wszystkich trapezw rwnoramiennych ,ktrych przek?tna ma d?ugo?? rwn? d jest taki ktry ma najwi?ksze pole.Wyznacz warto?? x takiego trapezu oraz oblicz jego pole.</p>
<p><a href=Zobacz rozwi?zanie wideo:


Zadanie 257.

K?t ostry trapezu rwnoramiennego ma miar? alfa, a pole tego trapezu jest rwne P. Wyka?, ?e promie? okr?gu wpisanego w ten trapez jest rwny " />x=\frac{\sqrt{P+sin\alpha}}{2}.</p>
<p><a href=Zobacz rozwi?zanie wideo:


Zadanie 258.

Dany jest okr?g o ?rodku w punkcie " />O (rysunek obok). K?t alfa ma miar?.</p>
<p><a href=

A. " />110<br />
B. 100<br />
C. 120<br />
D. 140</p>
<p><a href=Zobacz rozwi?zanie wideo:


Zadanie 259.

Jedna z przek?tnych rombu jest dwukrotnie d?u?sza od drugiej. Je?li obwd tego rombu jest rwny " />8\sqrt{5} cm, to jego d?u?sza przek?tna jest rwna:</p>
<p>A. 4 cm<br />
B. 8 cm<br />
C. 16 cm<br />
D. 20 cm</p>
<p><a href=Zobacz rozwi?zanie wideo:


Zadanie 260.

Dany jest czworok?t wypuk?y " />ABCD. Punkt P, Q, R, S s? punktami dwusiecznych jego k?tw zewn?trznych, jak na rysunku. Udowodnij, ?e na czworok?cie PQRS mo?na opisa? okr?g.</p>
<p><a href=

Zobacz rozwi?zanie wideo:


Zadanie 261.

W trjk?cie prostok?tnym stosunek sumy d?ugo?ci przyprostok?tnych do d?ugo?ci przeciwprostok?tnej jest rwny " />\frac{5}{4}. Oblicz cosinusy k?tw ostrych tego trjk?ta.</p>
<p><a href=Zobacz rozwi?zanie wideo:


Zadanie 262.

W trjk?cie rwnoramiennym k?t mi?dzy ramionami ma miar? " />45^{o}, a podstawa ma d?ugo?? 4 cm. Oblicz promie? okr?gu opisanego na tym trjk?cie.</p>
<p><a href=Zobacz rozwi?zanie wideo:


Zadanie 263.

Punkty " />A(0,0), B(7,1), C(-1,5) s? wierzcho?kami trjk?ta ABC.Wyznacz rwnanie prostej zawieraj?cej ?rodkow? tego trjk?ta wychodz?c? z wierzcho?ka A oraz rwnanie prostej zawieraj?cej ?rodkow? wychodz?c? z wierzcho?ka B. Uzasadnij ?e te proste nie s? prostopad?e.</p>
<p><a href=Zobacz rozwi?zanie wideo:


Zadanie 264.

Oblicz stosunek pl figur, na ktre symetralna boku " />AC dzieli \Delta ABC.</p>
<p><a href=Zobacz rozwi?zanie wideo:


Zadanie 265.

W trjk?cie rwnoramiennym " />ABC poprowadzono wysoko?? CK oraz AM. Wiedz?c, ?e AB^{2}=CK\cdot{}AM wyznacz cosinus k?ta przy podstawie trjk?ta.</p>
<p><a href=Zobacz rozwi?zanie wideo:


Zadanie 266.

Oblicz miary k?tw trjk?ta " />ABC, w ktrym wysoko?? i ?rodkowa poprowadzona z jednego wierzcho?ka dziel? k?t przy wierzcho?ku na trzy k?ty o rwnych miarach.</p>
<p><a href=Zobacz rozwi?zanie wideo:


Zadanie 267.

W kole o ?rodku " />O poprowadzono dwie prostopad?e ?rednice AB i CD oraz ci?ciw? AM przecinaj?c? ?rednice CD w punkcie K. Dla jakiej miary k?ta zawartego mi?dzy ci?ciw? AM i ?rednic? AB w czworok?t OBMK mo?na wpisa? okr?g?</p>
<p><a href=Zobacz rozwi?zanie wideo:


Zadanie 268.

Na okr?gu o promieniu " />r opisano romb, ktrego jeden z k?tw ma miar? 150^{o}.<br />
A. Wyka?, ?e d?ugo?ci krtszej przek?tnej, boku rombu i d?u?szej przek?tnej s? kolejnymi wyrazami ci?gu geometrycznego<br />
B. Oblicz stosunek pola rombu do pola ko?a wpisanego w ten romb.</p>
<p><a href=Zobacz rozwi?zanie wideo:


Zadanie 269.

Promie? okr?gu jest rwny 4?2 .Oblicz d?ugo?? ci?ciwy AB.

Zobacz rozwi?zanie wideo:


Zadanie 270.

W okr?g o promieniu " />5 wpisany jest trjk?t rwnoramienny o podstawie d?ugo?ci 6 cm. Oblicz d?ugo?ci ramion tego trjk?ta.</p>
<p><a href=Zobacz rozwi?zanie wideo:


Zadanie 271.

Oblicz pole trjk?ta ograniczonego osiami uk?adu wsp?rz?dnych i styczn? do hiperboli " />y=\frac{100}{x} w punkcie o odci?tej rwnej 1.</p>
<p><a href=Zobacz rozwi?zanie wideo:


Zadanie 272.

Krtsza podstawa trapezu rwnoramiennego ma d?ugo?? " />2, a jego przek?tna ma d?ugo?? 12. Punkt przeci?cia przek?tnych dzieli ka?d? z nich w stosunku 1:3. Wyka?, ?e pole trapezu wynosi 32\sqrt{2}.</p>
<p><a href=Zobacz rozwi?zanie wideo:


Zadanie 273.

Oblicz pole czerwonego obszaru na rysunku.

Zobacz rozwi?zanie wideo:


Zadanie 274.

Wysoko?ci w pewnym trjk?cie maj? d?ugo?? " />\frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}. Wyka?, ?e jest to trjk?t prostok?tny.</p>
<p><a href=Zobacz rozwi?zanie wideo:


Zadanie 275.

Oblicz " />\int\limits_{0}^{\pi}(1+cos\hspace{1mm}x)^{2}dx.</p>
<p><a href=Zobacz rozwi?zanie wideo:


Zadanie 276.

W trjk?cie " />ABC przed?u?ono bok AB poza wierzcho?ek B i od?o?ono taki odcinek BD, ?e |BD|=|BC|. Nast?pnie po??czono punkty C i D (zobacz rysunek). Wyka?, ?e |<CDA|=\frac{1}{2}|<CBA|.</p>
<p><a href=

Zobacz rozwi?zanie wideo:


Zadanie 277.

W okr?gu o promieniu " />3 wpisano trjk?t tak, ?e jeden z bokw trjk?ta jest ?rednica okr?gu. Sinus jednego z k?tw ostrych tego trjk?ta jest rwny \frac{2}{3}. Oblicz pole tego trjk?ta.</p>
<p><a href=Zobacz rozwi?zanie wideo:


Zadanie 278.

Wsplne styczne dwch k? stycznych zewn?trznie przecinaj? si? pod k?tem " />60^{o}. Wyka?, ?e stosunek promieni tych okr?gw jest rwny \frac{1}{3}.</p>
<p><a href=Zobacz rozwi?zanie wideo:


Zadanie 279.

Na planie w skali " />1:100 dzia?ka w kszta?cie kwadratu ma pole rwne 72 cm^{2}. Oblicz d?ugo?? przek?tnej dzia?ki. Wynik podaj w metrach.</p>
<p><a href=Zobacz rozwi?zanie wideo:


Zadanie 280.

Koniec godzinowej wskazwki dworcowego zegara, poruszaj?c si? od godziny " />12 do godziny 16, zakre?la drog? d?ugo?ci 50,24 cm.</p>
<p>A. Jak? d?ugo?? ma ta wskazwka?</p>
<p>B. Z jak? pr?dko?ci? liniow? porusza si? ta wskazwka? W obliczeniach przyjmij \pi= 3,14.</p>
<p><a href=Zobacz rozwi?zanie wideo:


Zadanie 281.

Punkt " />A le?y na jednym ramieniu k?ta o mierze 60^{o} , w odleg?o?ci 1 dm od wierzcho?ka tego k?ta. Odleg?o?? punktu A od drugiego ramienia tego k?ta wynosi:</p>
<p><a href=Zobacz rozwi?zanie wideo:


Zadanie 282.

Jeden bok rwnoleg?oboku ma d?ugo?? " />a= 6cm. Wysoko?? rwnoleg?oboku poprowadzona z wierzcho?ka na ten bok dzieli go w stosunku 2:1( licz?c od wierzcho?ka kata ostrego).K?t ostry tego rwnoleg?oboku ma miar? \alpha= 30^{o}. Oblicz pole i obwd tego rwnoleg?oboku.</p>
<p><a href=Zobacz rozwi?zanie wideo:


Zadanie 283.

Wyznacz miary k?tw " />\alpha i \beta.</p>
<p><a href=

Zobacz rozwi?zanie wideo:


Zadanie 284.

W trapezie rwnoramiennym krtsza podstawa i wysoko?? maj? d?ugo?? " />3, a d?ugo?? przek?tnej jest rwna 5. Oblicz obwd i pole tego trapezu.</p>
<p><a href=Zobacz rozwi?zanie wideo:


Zadanie 285.

Trapez na rysunku jest rwnoramienny. Oblicz jego pole.

Zobacz rozwi?zanie wideo:


Zadanie 286.

W trjk?t rwnoramienny o wysoko?ci " />4 cm i podstawie d?ugo?ci 6 cm wpisano okr?g. Oblicz promie? tego okr?gu.</p>
<p><a href=Zobacz rozwi?zanie wideo:


Zadanie 287.

Pole rombu wynosi " />36, a jedna z przek?tnych tego rombu jest dwa razy d?u?sza od drugiej. Oblicz d?ugo?? boku tego rombu i pole ko?a wpisanego w ten romb.</p>
<p><a href=Zobacz rozwi?zanie wideo:


Zadanie 288.

Oblicz wysoko?? trapezu przedstawionego na rysunku.

Zobacz rozwi?zanie wideo:


Zadanie 289.

Oblicz cosinus k?ta ostrego o boku " />3 i wysoko?ci 2.</p>
<p><a href=

Zobacz rozwi?zanie wideo:


Zadanie 290.

Korzystaj?c z danych zamieszczonych na rysunku, oblicz pole trjk?ta.

Zobacz rozwi?zanie wideo:


Zadanie 291.

Przek?tne trapezu prostok?tnego o podstawach " />3 i 4 przecinaj? si? pod k?tem prostym. Oblicz obwd i pole trapezu. Sporz?dzi? rysunek.</p>
<p><a href=Zobacz rozwi?zanie wideo:


Zadanie 292.

D?ugo?? przek?tnej " />DB trapezu ABCD przedstawionego na rysunku jest rwna:</p>
<p><a href=

A. " />5<br />
B. 9<br />
C. 20<br />
D. 24</p>
<p><a href=Zobacz rozwi?zanie wideo:


Zadanie 293.

Punkt " />O jest ?rodkiem okr?gu (rysunek obok). K?t \alpha ma miar? rwn?:</p>
<p><a href=

A. " />20^{o}<br />
B. 30^{o}<br />
C. 35^{o}<br />
D. 40^{o}</p>
<p><a href=Zobacz rozwi?zanie wideo:


Zadanie 294.

Dwa boki trjk?ta maj? d?ugo?? " />8 i 10, a sinus k?ta zawartego mi?dzy nimi wynosi /frac{3}{4}. Pole tego trjk?ta jest rwne:</p>
<p>A. 15<br />
B. 30<br />
C. 45<br />
D. 60</p>
<p><a href=Zobacz rozwi?zanie wideo:


Zadanie 295.

Dany jest okr?g o ?rodku " />O (rysunek obok).<br />
Oblicz miar? k?ta \alpha.</p>
<p><a href=

Zobacz rozwi?zanie wideo:


Zadanie 296.

Na okr?gu o promieniu " />2 opisano trjk?t prostok?tny o jednej z przyprostok?tnych d?ugo?ci 12. Oblicz obwd tego trjk?ta.</p>
<p><a href=Zobacz rozwi?zanie wideo:


Zadanie 297.

Je?li trjk?t o bokach d?ugo?ci: " />9,12 i 16 jest podobny do trjk?ta o bokach d?ugo?ci: a,9 i 12 (gdzie a<9), to:</p>
<p>A. a=6<br />
B. a=6\frac{2}{3}<br />
C. a=6\frac{3}{4}<br />
D. a=8</p>
<p><a href=Zobacz rozwi?zanie wideo:


Zadanie 298.

Przyprostok?tne trjk?ta prostok?tnego s? rwne " />3 i 4. Najkrtsza wysoko?? w tym trjk?cie jest rwna:</p>
<p>A. 2,4<br />
B. 2,5<br />
C. 3<br />
D. 3,5</p>
<p><a href=Zobacz rozwi?zanie wideo:


Zadanie 299.

Punkty: " />A,B,C le?? na okr?gu o ?rodku O (rysunek obok). Je?li k?t ABC ma miar? 25^{o}, to miara k?ta ACO jest rwna:</p>
<p><a href=

A. " />50^{o}<br />
B. 60^{o}<br />
C. 65^{o}<br />
D. 80^{o}</p>
<p><a href=Zobacz rozwi?zanie wideo:


Zadanie 300.

W kwadrat o polu " />64 wpisano ko?o. Jego pole jest rwne:</p>
<p>A. 64\pi<br />
B. 32\pi<br />
C. 16\pi<br />
D. 8\pi</p>
<p><a href=Zobacz rozwi?zanie wideo:


Zadanie 301.

Dwa boki trjk?ta maj? d?ugo?ci " />2 i 4 a k?t mi?dzy nimi zawarty ma miar? 60^{o}. Pole tego trjk?ta jest rwne:</p>
<p>A. 2<br />
B. 2\sqrt{3}<br />
C. 4<br />
D. 4\sqrt{3}</p>
<p><a href=Zobacz rozwi?zanie wideo:


Zadanie 302.

Wysoko?? trapezu prostok?tnego " />ABCD przedstawionego na rysunku obok jest dwa razy wi?ksza od r?nicy d?ugo?ci jego podstaw. Tangens k?ta \alpha jest rwny:</p>
<p>A. \frac{1}{2}<br />
B. \sqrt{2}<br />
C. \sqrt{3}<br />
D. 2$$

Zobacz rozwiązanie wideo:


 

Wejdź i odbierz koszulkę