Matematyka zadania

Matura próbna z nową Erą 2017 poziom rozszerzony

Zadanie 1.

Dane są liczby a=log_{3}5, b=log_{5}7, c=log_{7}3. Iloczyn abc jest równy

A. 1
B. 3
C. 5
D. 7

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 2.

Ciąg (a_{n}) jest określony następująco: a_{1}=(\frac{3}{2})^{100} oraz a_{n+1}=(\frac{2}{3})\cdot{}a_{n} dla n\ge1. Wówczas

A. a_{n}=1
B. a_{100}=1
C. a_{101}=1
D. a_{102}=1

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 3.

Równanie x^{5}+x^{3}+x=0

A. nie ma rozwiązań rzeczywistych.
B. ma dokłądnie jedno rozwiązanie rzeczywiste.
C. ma dokłądnie trzy rozwiązania rzeczywiste.
D. ma dokładnie pięć rozwiązań rzeczywistych.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 4.

Wartość wyrażenia 2cos^{2}15^{o}-1 jest równa

A. -\frac{\sqrt{3}}{2}
B. -\frac{1}{2}
C. \frac{\sqrt{2}}{2}
D. \frac{\sqrt{3}}{2}

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 5.

Okrąg o środku S=(-1,2) jest styczny do prostej o równaniu 3x+4y+5=0. Promień tego okręgu jest równy.

A. 1
B. 2
C. 4
D. 16

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 6.

Liczby a i b spełniają warunki a+b=6 i a\cdot{}b=2. Oblicz wartość wyrażenia a^{3}+b^{3}.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 7.

Oblicz \lim_{x\to\infty}\frac{(n-1)^{2}}{(2n-2)^{2}+(6n+3)^{2}}.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 8.

Dana jest funkcja kwadratowa f(x)=x^{2}-120. Oblicz największą wartość funkcji kwadratowej g określonej wzorem g(x)=-2\cdot{}F(x+4)-6.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 9.

W nieskończonym ciągu geometrycznym (a_{n}) dane są: a_{1}=k, a_{2}=k-1, gdzie k>1. Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa 5. Oblicz k.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 10.

Rozwiąż równanie 2 cos 2x cos 5x=cos 7x+\frac{1}{2} w przedziale <0;\pi>

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 11.

Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których funkcja kwadratowa f(x)=x^{2}-(4m+2)x+4m^{2}+4m-3 ma dwa różne miejsca zerowe x_{1} i x_{2}, spełniające warunek: x_{1}+x_{2}=|x_{1}-x_{2}|

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 12.

Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y i [tez]z[/tez] prawdziwa jest nierówność: 3x^{2}+3y^{2}+3z^{2}+4xy+4xz+4yz\ge0.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 13.

Rzucamy trzema symetrycznymi sześciennymi kostkami do gry. Oblicz prawdopodobieństwo warunkowe P(A|B), gdzie A to zdarzenie polegające na tym, że suma wyrzuconych oczek na wszystkich kostkach będzie parzysta, a B to zdarzenie, w którym dokładnie na jednej kostce wypadnie 6 oczek.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 14.

Czworokąt ABCD o bokach długości |AB|=24, |BC|=20, |CD|=15, |DA|=7 wpisano w okrąg. Oblicz długość przekątnej AC tego czworokąta.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 15.

Punkt A=(0,0) jest wierzchołkiem równoległoboku ABCD. Punkt M=(8,1) jest środkiem boku BC, a punkt N=(10,5) - środkiem boku CD tego równoległoboku. Oblicz współrzędne wierzchołków: B, C i D.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 16.

Krawędź sześcianu ABCDEFGH ma długość 12. Na krawędziach AB i BC wybrano takie punkty X i Y, że |BX|=|BY|=8. Przekrój tego sześcianu płaszczyzną XYH jest pięciokątem HWZYZ (rysunek niżej). Oblicz obwód tego pięciokąta.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 17.

Rozpatrujemy wszystkie prostopadłościany spełniające jednocześnie dwa warunki:

- suma długości wszystkich krawędzi jest równa 52,

- podstawą jest prostokąt o bokach: x i x+3.

Zapisz objętość takiego prostopadłościanu jako funkcję zmiennej x. Wyznacz dziedzinę tej funkcji i oblicz wymiary tego spośród rozpatrywanych prostopadłościanów, którego objętość jest największa. Oblicz tę objętość.

Zobacz rozwiązanie wideo: