Matematyka zadania

Matura 2017 maj rozszerzona

Zadanie 1.

Liczba (\sqrt{2-\sqrt{3}}-\sqrt{2+\sqrt{3}})^{2} jest równa

A. 2
B. 4
C. \sqrt{3}
D. 2\sqrt{3}

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 2.

Nieskończony ciąg liczbowy jest określony wzorem a_{n}=\frac{(n^{2}-10n)(2-3n)}{2n^{3}+n^{2}+3} dla n\ge 1. Wtedy

A. lim_{x\to\infty}a_{n}=\frac{1}{2}
B. lim_{x\to\infty}a_{n}=0
C. lim_{x\to\infty}a_{n}=-\infty
D. lim_{x\to\infty}a_{n}=-\frac{3}{2}

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 3.

Odcinek CD jest wysokością trójkąta ABC, w którym |AD|=|CD|=\frac{1}{2}|BC| (zobacz rysunek).
Okrąg o środku C i promieniu CD jest styczny do prostej AB. Okrąg ten przecina boki ACi BC trójkąta odpowiednio w punktach K i L.

Zaznaczony na rysunku kąt \alpha wpisany w okrąg jest równy

A. 37,5^{o}
B. 45^{o}
C. 52,5^{o}
D. 60^{o}

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 4.

Dane są punkty B=(-4,7) i wektor \overrightarrow{u}=[-3,5]. Punkt A, że \overrightarrow{AB}=-3\overrightarrow{u}, ma współrzędne

A. A=(5,-8)
B. A=(-13,22)
C. A=(9,-15)
D. A=(12,24)

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 5.

Reszta z dzielenia wielomianu W(x)=x^{3}-2x^{2}+ax+\frac{3}{4} przez dwumian x-2 jest równa 1.
Oblicz wartość współczynnika a.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 6.

Funkcja f jest określona wzorem f(x)=\frac{x-1}{x^{2}+1} dla każdej liczby rzeczywistej x. Wyznacz równanie stycznej do wykresu tej funkcji w punkcie P=(1,0).

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 7.

Udowodnij, że dla dowolnych różnych liczb rzeczywistych x, y prawdziwa jest nierówność x^{2}y^{2}+2x^{2}+2y^{2}-8xy+4>0.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 8.

W trójkącie ostrokątnym ABC bok AB ma długość c, długość boku BC jest równa a oraz |<ABC|=\beta. Dwusieczna kąta ABC przecina bok AC trójkąta w punkcie E. Wykaż, że długość odcinka BE jest równa \frac{2ac\cdot{}cos\frac{\beta}{2}}{a+c}.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 9.

W czworokącie, którego wszystkie krawędzie mają taką samą długość 6, umieszczono kulę tak, że ma ona dokładnie jeden punkt wspólny z każdą ścianą czworościanu. Płaszczyzna \pi równoległa do podstawy tego czworościanu, dzieli go na dwie bryły: ostrosłup o objętości równej \frac{8}{27} objętość dzielonego czworościanu i ostrosłup ścięty: Oblicz odległość środka S kuli od płaszczyzny \pi tj. długość najkrótszego spośród odcinków SP, gdzie P jest punktem płaszczyzny \pi

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 10.

Rozwiąż równanie cos\hspace{1mm}2x+3cos\hspace{1mm}x=-2 w przedziale <0,2\pi>.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 11.

W pudełku znajduje się 8 piłeczek oznaczonych kolejnymi liczbami naturalnymi od 1 do 8. Losujemy jedną piłeczkę, zapisujemy liczbę na niej występującą, a następnie zwracamy piłeczkę do urny. Tę procedurę wykonujemy jeszcze dwa razy i tym samym otrzymujemy zapisane trzy liczby. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania takich piłeczek, że iloczyn trzech zapisanych liczb jest podzielny przez 4. Wynik podaj w postaci ułamka zwykłego.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 12.

Wyznacz wszystkie wartości parametru m dla których równanie
4x^{2}-6mx+(2m+3)(m-3)=0
ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste x_{1} i x_{2}, przy czym x_{1}<x_{2}, spełniające warunek
(4x_{1}-4x_{2}-1)(4x_{1}-4x_{2}+1)<0.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 13.

Wyznacz równanie okręgu przechodzącego przez punkt A=(-5,3) i B=(0,6), którego środek leży na prostej o równaniu x-3y+1=0.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 14.

Liczby a,b,c są - odpowiednio - pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Suma tych liczb jest równa 27. Ciąg a-2,\hspace{1mm}b,\hspace{1mm}2c+1) jest geometryczny. Wyznacz liczby a,b,c.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 15.

Rozpatrujemy wszystkie walce o danym polu powierzchni całkowitej P. Oblicz wysokość i promień podstawy tego walca, którego objętość jest największa. Oblicz tę największą objętość.

Zobacz rozwiązanie wideo: