Matematyka zadania

Matura 2016 rozszerzona

Zadanie 1.

W rozwinięciu wyrażenia (2\sqrt{3}x+4y)^{3} współczynnik przy iloczynie xy^{2} jest równy

A. 32\sqrt{3}
B. 48
C. 96\sqrt{3}
D. 144

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 2.

Wielomian W(x)=6x^{3}+3x^{2}-5x+p jest podzielny przez dwumian x-1 dla p równego

A. 4
B. -2
C. 2
D. -4

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 3.

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji homograficznej y=f(x), której dziedziną jest zbiór D=(-\infty;3)\cup(3;\infty).

Matura 2016 rozszerzona zadanie 3

Równanie |f(x)|=p z niewiadomą x ma dokładnie jedno rozwiązanie

A. w dwóch przypadkach: p=0 lub p=3
B. w dwóch przypadkach: p=0 lub p=2
C. tylko wtedy, gdy p=3
D. tylko wtedy, gdy p=2

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 4.

Funkcja f(x)=\frac{3x-1}{x^{2}+4} jest określona dla każdej liczby rzeczywistej x. Pochodna tej funkcji jest określona wzorem

A. f'(x)=\frac{-3x^{2}+2x+12}{(x^{2}+4)^{2}}
B. f'(x)=\frac{-9x^{2}+2x-12}{(x^{2}+4)^{2}}
C. f'(x)=\frac{3x^{2}-2x-12}{(x^{2}+4)^{2}}
D. f'(x)=\frac{9x^{2}-2x+12}{(x^{2}+4)^{2}}

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 5.

Granica \lim_{n\to\infty}\frac{(pn^{2}+4n)^{3}}{5n^{6}-4}=-\frac{8}{5}. Wynika stąd, że

A. p=-8
B. p=4
C. p=2
D. p=-2

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 6.

Wśród 10 tysięcy mieszkańców pewnego miasta przeprowadzono sondaż dotyczący budowy przedszkola publicznego. Wyniki sondażu przedstawiono w tabeli.

Matura 2016 rozszerzona zadanie 6

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że losowo wybrana osoba, spośród ankietowanych, popiera budowę przedszkola, jeśli wiadomo, że jest mężczyzną. Zakoduj trzy pierwsze cyfry po przecinku nieskończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 7.

Dany jest ciąg geometryczny (a_{n}) określony wzorem a_{n}=(\frac{1}{2x-371})^{n} dla n\ge1. Wszystkie wyrazy tego ciągu są dodatnie. Wyznacz najmniejszą liczbę całkowitą x, dla której nieskończony szereg a_{1}+a_{2}+a_{3}+... jest zbieżny.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 8.

Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x i y takich, że x^{2}+y^{2}=2, prawdziwa jest nierówność x+y\le{}2.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 9.

Dany jest prostokąt ABCD. Okrąg wpisany w trójkąt BCD jest styczny do przekątnej BD w punkcie N. Okrąg wpisany w trójkąt ABD jest styczny do boku AD w punkcie M, a środek S tego okręgu leży na odcinku MN, jak na rysunku.

Matura 2016 rozszerzona zadanie 9

Wykaż, że |MN|=|AD|.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 10.

Wyznacz wszystkie wartości parametru a, dla których wykres funkcji f i g, określonych wzorami f(x)=x-2 oraz g(x)=5-ax, przecinają się w punkcie o obu współrzędnych dodatnich.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 11.

Rozwiąż nierówność \frac{2\cos{}x-\sqrt{3}}{\cos{}^{2}x}<0 w przedziale <0,2\pi>.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 12.

Dany jest trójmian kwadratowy f(x)=x^{2}+2(m+1)x+6m+1. Wyznacz wszystkie rzeczywiste wartości parametru m, dla których ten trójmian ma dwa różne pierwiastki x_{1}, x_{2} tego samego znaku, spełniające warunek |x_{1}-x_{2}|<3.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 13.

Punkty A=(30,32) i B=(0,8) są sąsiednimi wierzchołkami czworokąta ABCD wpisanego w okrąg. Prosta o równaniu x-y+2=0 jest jedyną osią symetrii tego czworokąta i zawiera przekątną AC. Oblicz współrzędne wierzchołków C i D tego czworokąta.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 14.

Rozpatrujemy wszystkie liczby naturalne dziesięciocyfrowe, w zapisie których mogą występować wyłącznie cyfry 1, 2, 3, przy czym cyfra 1 występuje dokładnie trzy razy. Uzasadnij, że takich liczb jest 15360.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 15.

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym ABCDS o podstawie ABCD wysokość jest równa 5, a kąt między sąsiednimi ścianami bocznymi ostrosłupa ma miarę 120^{o}. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 16.

Parabola o równaniu y=2-\frac{1}{2}x^{2} przecina oś Ox układu współrzędnych w punktach A=(-2,0) i B=(2,0). Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne ABCD, których dłuższą jest odcinek AB, a końce C i D krótszej podstawy leżą na paraboli(zobacz rysunek).

matura-matematyka-2016-rozszerzona

Wyznacz pole trapezu ABCD w zależności od pierwszej współrzędnej wierzchołka C. Oblicz współrzędne wierzchołka C tego z rozpatrywanych trapezów, którego pole jest największe.

Zobacz rozwiązanie wideo:


 

Wejdź i odbierz koszulkę