Matematyka zadania

Matura 2015 technikum

Zadanie 1.

Cena pewnego towaru wraz z 7-procentowym podatkiem VAT jest równa 34 347 zł. Cena tego samego towaru wraz z 23-procentowym podatkiem VAT będzie równa:

A. 37 236

B. 39 842,52

C. 39 483

D. 42 246,81 zł.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 2.

Najmniejszą liczbą całkowitą dodatnią spełniającą nierówność |x + 4,5|\ge{6} jest:

A. x=1

B. x=2

C. x=3

D. x=6

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 3.

Liczba 2^\frac{4}{3} \cdot \sqrt[3]{2^5} jest równa

A.  2^\frac{20}{3}

B. 2

C.  2^\frac{4}{5}

D.  2^3

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 4.

Liczba 2\cdot log _{5}10-log _{5}4 jest równa

A. 2

B. 2\cdot log _{5}96

C. 2\cdot log _{5}6

D. 5

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 5.

Zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających nierówność  \frac{3}{5}-\frac{2x}{3}\ge \frac{x}{6} jest przedziałem:

A.  \bigr\langle \frac{9}{5},+\infty\bigr)

B.  \bigr( -\infty , \frac{18}{25}\bigr\rangle

C.  \bigr\langle \frac{1}{30},+\infty\bigr)

D.  \bigr( -\infty , \frac{9}{5}\bigr\rangle

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 6.

Dziedziną funkcji f określonej wzorem f(x) = \frac{x+4}{x^2 - 4x} może być zbiór:

A. wszystkich liczb rzeczywistych różnych od 0 i od 4.

B. wszystkich liczb rzeczywistych różnych od -4 i od 4.

C. wszystkich liczb rzeczywistych różnych od -4 i od 0.

D. wszystkich liczb rzeczywistych

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 7.

Rozwiązaniem równania \frac{2\cdot x-4}{3-x}=\frac{4}{3} jest liczba

A.  x=0

B.  x=\frac{12}{5}

C.  x= 2

D.  x=\frac{25}{11}

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 8.

Miejscem zerowym funkcji liniowej określonej wzorem f(x) = -\frac{2}{3}x+4 jest

A. 0

B. 6

C. 4

D. −6

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 9.

Punkt M=(\frac{1}{2},3) należy do wykresu funkcji liniowej określonej wzorem f(x)=(3-2a) \cdot x + 2 . Wtedy

A. a=-\frac{1}{2}

B. a=2

C. a=\frac{1}{2}

D. a=?2

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 10.

Na rysunku przedstawiono fragment prostej o równaniu y=ax+b.

rysunek1

Współczynnik kierunkowy tej prostej jest równy:

A. a=-\frac{3}{2}

B. a=-\frac{2}{3}

C. a=-\frac{2}{5}

D. a=-\frac{3}{5}

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 11.

W ciągu arytmetycznym (a_{n}) określonym dla n ≥ 1 dane są a_{1}=-4 i r = 2. Którym wyrazem tego ciągu jest liczba 156?

A. 81.

B. 80.

C. 76.

D. 77.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 12.

W rosnącym ciągu geometrycznym (a_{n}) , określonym dla n ≥ 1, spełniony jest warunek a_{4}=3 \cdot a_{1} . Iloraz q tego ciągu jest równy:

A. q=\frac{1}{3}

B. q=\frac{1}{\sqrt[3]{3}}

C. q=\sqrt[3]{3}

D. q=3

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 13.

Drabinę o długości 4 metrów oparto o pionowy mur, a jej podstawę umieszczono w odległości 1,30 m od tego muru (zobacz rysunek).

rysunek2

Kąt α , pod jakim ustawiono drabinę, spełnia warunek:

A. 0^\circ<\alpha<30^\circ

B. 30^\circ<\alpha<45^\circ

C. 45^\circ<\alpha<60^\circ

D. 60^\circ<\alpha<90^\circ

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 14.

Kąt \alpha jest ostry i \sin\alpha=\frac{2}{5} . Wówczas \cos\alpha jest równy

A. \frac{5}{2}

B. \frac{\sqrt21}{4}

C. \frac{3}{5}

D.\frac{\sqrt21}{5}

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 15.

W trójkącie równoramiennym ABC spełnione są warunki:|AC|=|BC|. |\angle CAB|=50^\circ Odcinek BD jest dwusieczną kąta ABC, a odcinek BE jest wysokością opuszczoną z wierzchołka B na bok AC. Miara kąta EBD jest równa:

rysunek3

A. 10^{o}

B. 12,5^{o}

C. 13,5^{o}

D. 15^{o}

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 16.

Przedstawione na rysunku trójkąty są podobne.

rysunek4

Wówczas:

A. a=13, b=17

B. a=10 , b=18

C. a=9 , b=19

D. a=11, b=13

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 17.

Proste o równaniach: y=2mx-m^2-1 oraz y=4m^2x+m^2+1 są prostopadłe dla:

A. m=-\frac{1}{2}

B. m=\frac{1}{2}

C. m=1

D. m=2

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 18.

Dane są punkty M=(3,-5) oraz N=(-1,7). Prosta przechodząca przez te punkty ma równanie:

A. y=-3x+4

B. y=3x-4

C. y=-\frac{1}{3}x+4

D. y=3x+4

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 19.

Dane są punkty: P=(-2,-2), Q=(3,3). Odległość punktu P od punktu Q jest równa

A. 1

B. 5

C.5\sqrt{2}

D. 2\sqrt{5}

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 20.

Punkt K=(-4,4) jest końcem odcinka KL, punkt L leży na osi Ox, a środek S tego odcinka leży na osi Oy. Wynika stąd, że:

A. S=(0,2)

B. S=(-2,0)

C. S=(4,0)

D. S=(0,4)

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 21.

Okrąg przedstawiony na rysunku ma środek w punkcie O=(3,1) i przechodzi przez punkty S=(0,4) i T=(0,-2). Okrąg ten jest opisany przez równanie:

rysunek5

A. (x+3)^2+(y+1)^2=18

B. (x-3)^2+(y+1)^2=18

C. (x-3)^2+(y-1)^2=18

D. (x+3)^2+(y-1)^2=18

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 22.

Przekątna ściany sześcianu ma długość 2. Pole powierzchni całkowitej tego sześcianu jest równe:

A. 24

B. 12 \cdot \sqrt{2}

C. 12

D. 16 \cdot \sqrt{2}

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 23.

Kula o promieniu 5 cm i stożek o promieniu podstawy 10 cm mają równe objętości. Wysokość stożka jest równa:

A. 25 \pi cm

B. 10 cm

C. 10 \pi cm

D. 5 cm

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 24.

Średnia arytmetyczna zestawu danych: 2,4,7,8,9 jest taka sama jak średnia arytmetyczna zestawu danych: 2,4,7,8,9,x. Wynika stąd, że:

A. x=0

B. x=3

C. x=5

D. x=6

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 25.

W pewnej klasie stosunek liczby dziewcząt do liczby chłopców jest równy 4:5 . Losujemy jedną osobę z tej klasy. Prawdopodobieństwo tego, że będzie to dziewczyna, jest równe:

A. \frac{4}{5}

B. \frac{4}{9}

C. \frac{1}{4}

D. \frac{1}{9}

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 26.

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej x i dla każdej liczby rzeczywistej y prawdziwa jest nierówność:

4x^2-8xy+5y^2 \ge0

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 27.

Rozwiąż nierówność 2x^2-4x \ge x-2

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 28.

Rozwiąż równanie 4x^3+4x^2-x-1=0

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 29.

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji f.

rysunek6

Funkcja h określona jest dla x \in \langle-3,5\rangle wzorem h(x)=f(x)+q , gdzie q jest pewną liczbą rzeczywistą. Wiemy, że jednym z miejsc zerowych funkcji h jest liczba x_{0}=-1.

a) Wyznacz q.

b) Podaj wszystkie pozostałe miejsca zerowe funkcji h.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 30.

Dany jest skończony ciąg, w którym pierwszy wyraz jest równy 444 , a ostatni jest równy 653. Każdy wyraz tego ciągu, począwszy od drugiego, jest o 11 większy od wyrazu bezpośrednio go poprzedzającego. Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego ciągu.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 31.

Dany jest okrąg o środku w punkcie O. Prosta KL jest styczna do tego okręgu w punkcie L, a środek O tego okręgu leży na odcinku KM (zob. rysunek). Udowodnij, że kąt KML ma miarę 31^{o}.

rysunek7

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 32.

Wysokość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 16 . Przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny jego podstawy pod kątem, którego cosinus jest równy \frac{3}{5} . Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 33.

Wśród 115 osób przeprowadzono badania ankietowe, związane z zakupami w pewnym kiosku. W poniższej tabeli przedstawiono informacje o tym, ile osób kupiło bilety tramwajowe ulgowe oraz ile osób kupiło bilety tramwajowe normalne.

tabela1

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że osoba losowo wybrana spośród ankietowanych nie kupiła żadnego biletu. Wynik przedstaw w formie nieskracalnego ułamka.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 34.

Biegacz narciarski Borys wyruszył na trasę biegu o 10 minut później niż inny zawodnik, Adam. Metę zawodów, po przebyciu 15-kilometrowej trasy biegu, obaj zawodnicy pokonali równocześnie. Okazało się, że wartość średniej prędkości na całej trasie w przypadku Borysa była o 4,5 \frac{km}{h} większa niż w przypadku Adama. Oblicz, w jakim czasie Adam pokonał całą trasę biegu.

Zobacz rozwiązanie wideo: