Matematyka zadania

Geometria Analityczna

Zadanie 1.

Prosta o równaniu ax+y=1 przechodzi przez środek odcinka o końcach (1,-3), (3,-3). Oblicz wartość współczynnika a.

A. a=\frac{1}{2}
B. a=2
C. a=-1
D. a=-2

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 2.

Sprawdź czy trójkąt ABC jest równoramienny czy prostokątny.

A=(-1,2)   B=(4,1)   C=(2,4)

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 3.

Oblicz odległość między punktami  A i B.

a) A=(2,-4)   B=(5,0)

b) A=(-1,4)   B=(1,5)

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 4.

Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez punkt (1,1), która wraz z osiami układu współrzędnych ogranicza trójkąt o polu 2 i tworzy z dodatnią półosią osi x kąt rozwarty.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 5.

Na rysunku przedstawiono interpretacje geometryczną jednego z podanych układów równań. Wskaz ten układ.

WYkres funkcji Interpretacja geometryczna układów równań liniowych

A.\begin{cases}y=-2x-2\\y=\frac{2}{3}x+2\end{cases}
B.\begin{cases}y=-2x+2\\y=\frac{2}{3}x-2\end{cases}
C.\begin{cases}y=-2x+2\\y=\frac{3}{2}x-2\end{cases}
D.\begin{cases}y=-2x-2\\y=\frac{3}{2}x+2\end{cases}

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 6.

Proste y=-\frac{3}{5}x-2 i ax+2y+4=0 są prostopadłe dla:

A.a=-\frac{10}{3}
B.a=-\frac{6}{5}
C.a=\frac{6}{5}
D.a=\frac{10}{3}

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 7.

Prosta y=-x+b jest styczna do okręgu danego równaniem x^{2}+y^{2}=10.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 8.

Okręgi x^{2}+y^{2}=9 i (x-3)^{2}+(y-3)^{2}=4 przecinają się w punktach P i Q. Oblicz sumę odległości punktów P i Q od początku układu współrzędnych.

Geometria analityczna teraz matura zestaw c zadanie 5

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 9.

Oblicz obwód trójkąta ABC, jeśli \overrightarrow{AB}=[4,3] i \overrightarrow{BC}=[6,-8].

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 10.

Prosta y+x=0 przecina okrąg dany równaniem x^{2}+y^{2}=450 w punktach A i B. Oblicz odległość między tymi punktami.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 11.

Wektor [\sqrt{2}m,-\frac{1}{4}m^{2}] ma ten sam kierunek co wektor [12,-18]. Wyznacz m.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 12.

Jednokładność o środku w punkcie P(2,10 przekształca punkt A(5,2) na punkt A^{'}(-4,-1). Oblicz długość wektora \overrightarrow{u} będącego obrazem wektora ]\overrightarrow{u}=[60,70] w tej jedności.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 13.

Oblicz odległość między prostymi y=-\frac{2}{3}x-4 i y=-\frac{2}{3}x+9.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 14.

Punkty A=(6,1), B=(3,5), C=(2,1) są wierzchołkami trapezu ABCD o podstawach AB i CD. Wyznacz współrzędne wierzchołka D, jeśli wiadomo, że przekątne trapezu są prostopadłe.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 15.

Odległość punktu A=(-1,4) od punktu B=(x,2) jest równa 2, z czego wynika, że:

A. x=-1
B. x=1
C. x=0
D. x=-3

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 16.

Jeśli puntk A=(-2,2015) jest symetryczny do punktu B względem osi x, to punktem symetrycznym do punktu B względem punktu (0,0) jest punkt:

A. C=(-2,-2015)
B. C=(2,-2015)
C. C=(-2,2015)
D. C=(2,2015)

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 17.

Wyznacz równanie prostej l, która jest równoległa do prostych o równaniach 2x+3y-6=0 i 4x+6y+10=0 i leży w tej samej odległości od każdej z nich.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 18.

W układzie współrzędnych dane są punkty A=(a,6) oraz B=(7,b). Środkiem odcinka AB jest punkt M=(3,4). Wynika stąd, że

A. a=5 i b=5
B. a=-1 i b=2
C. a=4 i b=10
D. a=-4 i b=-2

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 19.

Punkty A(1,1) i B(0,3) są kolejnymi wierzchołkami rombu ABCD. Wyznaczyć pozostałe wierzchołki, wiedząc że jeden z nich leży na prostej x-y-2=0. Sporządź rysunek.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 20.

Oblicz pole trójkąta ABC o wierzchołkach A(3,6), B(1,0). Wiedząc, że wysokości przecinają się w punkcie (4,4). Sporządź rysunek.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 21.

Zbadaj,czy trójkąt o wierzchołkach A=(1,-3,4) , B=(-3,5,8) , C=(-1,-5,0) jest trójkątem prostokątnym.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 22.

Oblicz obwód trójkąta ABC, jeśli A=(-3,2,-1) , B=(1,5,11) , C=(7,-3,9)

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 23.

Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x i y takich, że x^{2}+y^{2}=2, prawdziwa jest nierówność x+y\le{}2.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 24.

Punkty A=(2,5) i B=(3,7) są wierzchołkami trójkąta równobocznego. Oblicz pole tego trójkąta.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 25.

Punkty A=(2,4), B=(3,-4) i C==(6,0) są wierzchołkami trójkąta. Narysuj ten trójkąt w układzie współrzędnych. Oblicz jego obwód i pole powierzchni.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 26.

Dana jest funkcja y=-0,5x+2

- narysuj wykres
- oblicz miejsce zerowe
- dla jakich argumentów wartości funkcji są większe od 99
- Czy jest to funkcja rosnąca czy malejąca
- Oblicz odległość wykresu tej funkcji od początku układu współrzędnych.
- Znajdź wzór funkcji liniowej, której wykres jest równoległy do danej funkcji i przechodzi przez punkt (1,5;-2)

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 27.

Okręgi o środkach S_{}=(3,4) oraz S_{2}=(9,-4) i równych promieniach, są styczne zewnętrznie. Promień każdego z tych okręgów jest równy.

A. 8
B. 6
C. 5
D. \frac{5}{2}

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 28.

Na rysunku przedstawione są dwa wierzchołki trójkąta prostokątnego ABC: A=(-3,-3) i C=(2,7) oraz prosta o równaniu y=\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}, zawierająca przeciwprostokątną AB tego trójkąta.

Matura poprawkowa 2016 Zadanie 32

Oblicz współrzędne wierzchołka B tego trójkąta i długość odcinka AB.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 29.

Na rysunku przedstawiono geometryczną interpretację jednego z niżej zapisanych układów równań.
Wykres
Wskaż ten układ.
A. \begin{cases}y=x+1\\y=-2x+4\end{cases}
B. \begin{cases}y=x-1\\y=2x+4\end{cases}
C. \begin{cases}y=x-1\\y=-2x+4\end{cases}
D. \begin{cases}y=x+1\\y=2x+4\end{cases}

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 30.

Liczba punktów wspólnych okręgu o równaniu (x+2)^2+(y-3)^2=4 z osiami układu współrzędnych jest równa
A. 0
B. 1
C. 2
D. 4

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 31.

Wyznacz wszystkie wartości parametru a, dla których wykres funkcji f i g, określonych wzorami f(x)=x-2 oraz g(x)=5-ax, przecinają się w punkcie o obu współrzędnych dodatnich.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 32.

Punkty A=(30,32) i B=(0,8) są sąsiednimi wierzchołkami czworokąta ABCD wpisanego w okrąg. Prosta o równaniu x-y+2=0 jest jedyną osią symetrii tego czworokąta i zawiera przekątną AC. Oblicz współrzędne wierzchołków C i D tego czworokąta.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 33.

Równanie x^{2}+(y+2)^{2}=4 opisuje okrąg o środku w punkcie S i promieniu r. Wówczas:

A. S=(0,-2), r=4
B. S=(0,-2), r=2
C. S=(0,2), r=4
D. S=(0,2), r=2

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 34.

Proste l i k są prostopadłe i l:-2x+5y+1=0, k:y=ax+b. Wówczas:

A. a=-\frac{2}{5}
B. a=\frac{2}{5}
C. a=-\frac{5}{2}
D. a=\frac{1}{2}

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 35.

Punkt S=(-3,8) jest środkiem odcinka AB i B=(-6,14). Wyznacz współrzędne punktu A

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 36.

Wykres funkcji f(x)=\frac{m-1}{m+2}x+1 i g(x)=\frac{m+2}{x-3}x+1 są prostymi prostopadłymi. Obliczyć pole trójkąta ograniczonego wykresami tych funkcji i osią OX. Podać równanie okręgu opisanego na tym trójkącie. Sporządzić rysunek.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 37.

Oblicz pole trójkąta ABC, gdy A=(6;-2), B=(4;3), C=(-3;1)

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 38.

Oblicz długość środkowej trójkąta ABC poprowadzonej z wierzchołka A, gdy A=(-3;-2), B=(5;-6), C=(2;5)

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 39.

Dane są wektory BA^{\to}=[-8,-6] i CA^{\to}=[-8,-11]. Wyznacz współrzędne wektora BC^{\to} i oblicz cosinus kąta ABC.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 40.

Prosta 2x-y-5=0 przecina okrąg o środku S(2,4) w przedziałach A i B. Długość cięciwy AB wynosi 4\sqrt{5}. Wyznacz równanie tego okręgu.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 41.

Proste k i l o równaniach k:3x-y-2=0, l:2x+y-3=0 przecinają się w punkcie P. Wtedy

A. P=(-1,-1)
B. P=(2,-1)
C. P=(2,4)
D. P=(1,1)

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 42.

Który z podanych punktów jest najbardziej oddalony od początku układu współrzędnych?

A. (-5,-12)
B. (-9,9)
C. (10,8)
D. (11,-6)

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 43.

Punkty A(-1,3) i C(2,1) są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu ABCD. Pole tego kwadratu jest równe:

A. 13
B. 2,5
C. 5
D. 6,5

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 44.

Wyznacz współrzędne środka okręgu opisanego na trójkącie ABC (rysunek poniżej).

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 45.

Punkt S(2,0) jest środkiem odcinka o końcach A(3,4) i B. Wówczas:

A. B(1,4)
B. B(3,2)
C. B(5,4)
D. B(1,-4)

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 46.

Dany jest odcinek o końcach A(2,-1) i B(a,4). Jeżeli |AB|=5, to:

A. a=-2
B. a=2
C. a=6
D. a=-6

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 47.

Do okręgu o środku O(-2,0) i promieniu 5 należy punkt:

A. (-5,-3)
B. (-3,5)
C. (2,-3)
D. (1,5)

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 48.

Punkt A(4,8) należy do okręgu, który jest styczny od osi OX w punkcie B(4,0). Oblicz różnicę między polem kwadratu wpisanego w ten okrąg a polem trójkąta równobocznego wpisanego w ten okrąg.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 49.

Dane są proste y=x+2, y=-x+4, y=0,5x-2. Punkty przecięcia prostych są wierzchołkami trójkąta ABC. Oblicz obwód tego trójkąta.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 50.

Dane są punkty A(4,2) i B(6,8) Wyznacz punkt C leżący na prostej o równaniu y=3x tak, aby trójkąt ABC był prostokątny. Rozpatrz wszystkie możliwości.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 51.

Dane są punkty A=(-4,1) i B=(2,-5) oraz prosta k o równaniu x+3y-6=0. Punkt C należy do prostej k i jest równoległy do punktów A i B. Wyznacz współrzędne punktu C.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 52.

Dany jest układ nierówności \begin{cases}x+y\ge0\\x-2y\le0\\x+4y-18\le0\end{cases}.
Figura F jest zbiorem wszystkich punktów płaszczyzny, których współrzędne spełniają dany układ nierówności. Naszkicuj w układzie współrzędnych figurę F i oblicz jej pole.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 53.

Reszta z dzielenia wielomianu W(x)=2x^{3}+x^{2}-3 przez wielomian P(x)=0,5x-2 jest równa:

A. 17
B. -2,5
C. 141
D. 147

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 54.

Okrąg o równaniu (x-70)^{2}+(y+27)^{2}=4 jest styczny do prostej opisanej równaniem:

A. 3x+4y=0
B. 5x+12y=0
C. x+y=o
D. y=-\frac{5}{6}x

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 55.

W trójkącie prostokątnym ABC, w którym przy wierzchołku C jest kąt prosty, dany jest wierzchołek A(-10;-3). Wierzchołek B jest obrazem punktu A w jednokładności o środku w punkcie S(14;9) i skali k=\frac{2}{3}. Wierzchołek C należy do prostej x-y+11=0. Wyznacz współrzędne punktów B i C.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 56.

Dane są dwie proste y=3x-4 i y=-2x-5. Prosta k przecina te proste w punktach A i B. Środek odcinka AB ma współrzędne s=(\frac{7}{2},-4). Wyznacz nierówność opisującą koło o środku w punkcie S, do brzegu którego należą punkty A i B.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 57.

Obrazem punktu A=(-2,4) w jednokładności o środku S=(1,3) i skali k jest punkt A^{'}=(7,1). Skala k jest równa

A. -2
B. -0,5
C. 0,5
D. \sqrt{2}

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 58.

Dane są punkty M(-4;3) i N(2;6). Współczynnik kierunkowy prostej MN jest równy:

A. a=-2
B. a=-\frac{1}{2}
C. a=\frac{1}{2}
D. a=2

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 59.

Punkty K(-2;1) i L(4;-1) są wierzchołkami trójkąta równobocznego KLM. Obwód tego trójkąta jest równy:

A. 120
B. 30\sqrt{4}
C. 12\sqrt{10}
D. 6\sqrt{10}

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 60.

Uzasadnij, że prosta y=x+2 nie jest prostopadła do prostej przechodzącej przez punkt A(-1;3) i B(-6;7).

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 61.

Dany jest trójkąt prostokątny o wierzchołkach: A(8;3), B(0;4), C(2;0). Oblicz \frac{\sin\alpha}{\sin\beta},
jeżeli \alpha=| kąt CAB| oraz \beta=| kąt ABC|.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 62.

Wyznacz współrzędne środka jednokładności, w której obrazem okręgu o równaniu:
(x-16)^{2}+y^{2}=4
Jest okrąg o równaniu (x-6)^{2}+(y-4)^{2}=16, a skala tej jednokładności jest liczbą ujemną.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 63.

Przez początek układu współrzędnych oraz przez punkt A=(1;3) przechodzą dwie proste równoległe. Wyznacz równania tych prostych, wiedząc, że odległość między nimi jest równa \sqrt{5}.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 64.

Znajdź równanie prostej przechodzącej przez punkt P=(2;4) i przecinającej proste 3x+y=0 oraz x-y+4=0 w punktach odpowiednio M i N w taki sposób, że punkt P jest środkiem odcinka MN.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 65.

Punkty A=(-5,-6), B=(4,3), c=(-1,3) są wierzchołkami trapezu równoramiennego o podstawach AB i CD, który nie jest równoległobokiem. Wyznacz współrzędne wierzchołka D.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 66.

Znajdź współrzędne wierzchołków trójkąta równoramiennego, wiedząc, że jest wpisany w okrąg (x-1)^{2}+(y-1)^{2}=4, a jego podstawa zawarta jest w prostej l:y=x-2.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 67.

Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x i y takich, że (x-1)^{2}+(y+2)^{2}=2, prawdziwa jest nierówność y+1\le x.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 68.

Równoległobok ABCD jest wyznaczony przez proste AB:3x-5y+25=0, BC:y=0, AD:y=-5 oraz prostą p, do której należą punkty C i D=(0,-5). Wyznacz współrzędne punktu C.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 69.

Na trójkącie ABC, gdzie A=(-5;1), B=(-2;4), C=(-1;-3), opisano koło. Oblicz pole tego trójkąta.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 70.

Oblicz pole figury ograniczonej wykresami funkcji:
x-3-y=0
x-y=5
i osiami układu współrzędnych.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 71.

Dwa wierzchołki trójkąta ABC mają współrzędne A:(2;1), B:(1;4). Punkt C znajduje się na osi OY. Wyznacz wszystkie możliwe położenia punktu C, takie, że trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 72.

Dane są punkty A=(-3;5) i prosta l o równaniu 2x-4y+1=0. Napisz równanie prostej przechodzącej przez punkt A, który jest

A. Równoległa do prostej l.
B. Prostopadła do prostej l.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 73.

Uzasadnij, że czworokąt ABCD jest prostokątem, jeśli A=(0;4) B=(2;2) C=(7;7) D=(5,9).

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 74.

Oblicz dla jakich wartości parametrów m proste p i r są prostopadłe p:y=(m-3)x+1 r:y=(m+3)x+2.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 75.

Napisz równanie okręgu o średnicy AB, jeśli wiesz że A=(-2;3) i B=(5;3).

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 76.

Punkty A=(-6;-4), B=(6,2) oraz C=(-2,8) są wierzchołkami trójkąta. Napisz równanie prostej przechodzącej przez punkt C, która jest:

A. Równoległa do boku AB
B. Prostopadła do boku AB

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 77.

Wiadomo że punkt A_{1}=(-2a+1;6) jest obrazem punktu A=(-7;3b-9) w symetrii

A. Osi x
B. Osi y
C. Początku ukłądu współrzędnych
Wyznacz a i b

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 78.

Napisz równanie stycznej do okręgu, do której należy punkt A.
A. (x+3)^{2}+(y-5)^{2}=40 i A=(-9,7).

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 79.

Oblicz pole trójkąta ograniczonego prostą y=-\frac{2}{3}x-2 i osiami układów współrzędnych.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 80.

Znajdź liczbę b, dla której figura ograniczona prosta o równaniu y=2, osiami układu współrzędnych i wykresem funkcji f określonej wzorem f(x)=x+b, jest czworokątem o polu 6.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 81.

Dany jest kwadrat ABCD o boku długości 2 cm (rysunek obok). Narysuj obraz tego kwadratu w jednokładności o środku w punkcie:

A. O_{1} i skali 2
B. O_{2} i skali \frac{1}{2}
C. O_{3} i skali -2

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 82.

Punkt A(4,1) należy do okręgu o środku S(-3,0). Średnica tego okręgu jest równa:

A. 8
B. 2\sqrt{2}
C. 5\sqrt{2}
D. 10\sqrt{2}

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 83.

Punkt S(a,b) jest środkiem odcinka o końcach A(-4,4), B(b,8). Wyznacz współrzędne a i b.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 84.

Jeśli punkt A(-3,7) należy do okręgu o środku O(3,-1), to promień tego okręgu jest równy:

A. 6
B. 8
C. 6\sqrt{2}
D. 10

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 85.

Wybierz równanie prostej równoległej do prostej 3x+2y-4=0.

A. y=-\frac{3}{2}x+5
B. y=\frac{3}{2}x-4
C. y=-\frac{2}{3}x+4
D. y=\frac{2}{3}x+5

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 86.

Okręgi o promieniach 3 cm i 8 cm są styczne wewnętrznie. Najmniejsza możliwa odległość miedzy środkiem większego okręgu i punktem należącym do mniejszego okręgu jest równa:

A. 2 cm
B. 3 cm
C. 4 cm
D. 5 cm

Zobacz rozwiązanie wideo:


 

Wejdź i odbierz koszulkę