Matematyka zadania

Funkcja wymierna

Zadanie 1.

Dana jest funkcja f(x) =\frac{x^{2} -3x +9}{x-3}. Ile miejsc zerowych ma ta funkcja.

A.Funkcja f ma jedno miejsce zerowe równe -3
B.Funkcja f ma jedno miejsce zerowe równe 3
C.Funkcja f ma dwa miejsce zerowe równe 3,-3
D.Funkcja f nie ma miejsc zerowych

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 2.

Równanie wymierne \frac{3x-1}{x+5}=3, gdzie x\neq-5.

A. nie ma rozwiązania rzeczywistych
B. ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste
C. ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste
D. ma dokładnie trzy rozwiązania rzeczywiste

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 3.

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji homograficznej y=f(x), której dziedziną jest zbiór D=(-\infty;3)\cup(3;\infty).

Matura 2016 rozszerzona zadanie 3

Równanie |f(x)|=p z niewiadomą x ma dokładnie jedno rozwiązanie

A. w dwóch przypadkach: p=0 lub p=3
B. w dwóch przypadkach: p=0 lub p=2
C. tylko wtedy, gdy p=3
D. tylko wtedy, gdy p=2

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 4.

Zbiorem rozwiązań równania \frac{2x}{x^{3}+1}=x jest.

A. {1}
B. {0,1}
c. {-1,0,1}
D. {-1,1}

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 5.

Wyznacz dziedzinę ułamka algebraicznego \frac{x^{2}+x+4}{x^{2}-5x+6}

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 6.

Wyznacz dziedzinę ułamka algebraicznego \frac{x+1}{x^{3}-5x^{2}+4x}

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 7.

Wyznacz dziedzinę ułamka algebraicznego \frac{x^{2}+5}{x^{3}-9x^{2}+x-9}

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 8.

Wyznacz dziedzinę ułamka algebraicznego \frac{x^{3}}{x^{3}-8}

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 9.

Wyznacz dziedzinę ułamka algebraicznego \frac{x^{3}+x+7}{x^{4}+x^{2}-20}

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 10.

Wyznacz dziedzinę ułamka algebraicznego \frac{x+2}{4x^{3}-8x^{2}-x+2}

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 11.

Wyznacz dziedzinę ułamka algebraicznego dla podanej obok liczby \frac{-x^{2}+3}{(2-x)(2+x)} , -1 , \frac{2x^{2}-1}{x^{3}-1} , 2

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 12.

Podaj przykład ułamka algebraicznego którego dziedziną jest zbiór:

a) R
b) R-{0}
c) R-{0,1,5}

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 13.

Podaj przykład ułamka algebraicznego, którego dziedzina jest zbiór:
b) R-{1}
d) R-{-2,3}
f) R-{-3,-1,1,3}

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 14.

Dla jakich wartości parametru m dziedziną ułamka algebraicznego jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych.
\frac{x^{2}+5}{x^{2}+2x+m}

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 15.

Dla jakich wartości parametru m dziedziną ułamka algebraicznego jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych.
\frac{x}{x^{2}+5x+9m^{2}}

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 16.

Dla jakich wartości parametru m dziedziną ułamka algebraicznego jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych.
\frac{x+2}{x^{2}+2mx+1}

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 17.

Dla jakich wartości parametru m dziedziną ułamka algebraicznego jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych.
\frac{1-2x}{x^{2}+3mx+m}

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 18.

Skróć ułamki algebraiczne, podaj konieczne założenia.
\frac{4(-x)^{2}-8x^{2}}{16x^{2}}

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 19.

Skróć ułamki algebraiczne, podaj konieczne założenia.
\frac{(x^{3})^{2}-5(x^{2})^{3}}{2x^{7}}

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 20.

Skróć ułamki algebraiczne, podaj konieczne założenia.

\frac{4x^{2}-100}{x^{2}-10x+25}

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 21.

Skróć ułamki algebraiczne, podaj konieczne założenia.

\frac{x^{2}-6x+9}{4x^{2}-36}

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 22.

Skróć ułamki algebraiczne, podaj konieczne założenia.

\frac{x^{2}-14x+49}{49-x^{2}}

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 23.

Skróć ułamki algebraiczne, podaj konieczne założenia.

\frac{9x^{2}+30x+25}{18x^{2}-50}

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 24.

Skróć ułamki algebraiczne, podaj konieczne założenia.

\frac{2x}{x^{3}-8x^{2}}-\frac{4x+2}{x^{3}-8x^{2}}

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 25.

Skróć ułamki algebraiczne, podaj konieczne założenia.

\frac{2x-7}{x-3}-\frac{3(x-4)}{x-3}

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 26.

Skróć ułamki algebraiczne, podaj konieczne założenia.

\frac{x-7}{5}-\frac{x^{2}+2}{3}+\frac{2x^{2}-3x+7}{15}

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 27.

Dodawanie i odejmowanie ułamków algebraicznych.

\frac{(x-1)(x+1)}{3}+\frac{(2x-3)^{2}}{3}

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 28.

Dodawanie i odejmowanie ułamków algebraicznych.

\frac{x-1}{4}+\frac{2x-3}{4}
\frac{2(x-3)}{5}-\frac{3(x+2)}{5}

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 29.

Asymptotą pionową wykresu funkcji f(x)=\frac{2x+a}{x+b} jest prosta x=-1.
a) Oblicz b i podaj równanie asymptoty poziomej wykresu funkcji f.
b) Oblicz a, jeśli wykres funkcji f otrzymano przez przesunięcie wykresu funkcji g(x)=\frac{2}{x}.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 30.

Rozwiąż nierówność f(x+1)<f(x) gdzie f(x)=1-\frac{2}{x-1}.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 31.

Wyznacz zbiór A'\cap{}B', wiedząc że:
A={x\in{R}:\frac{x+10}{x}<3}, B={x\in{R}:x^{3}+10x^{2}\le{}x^{4}-8x}

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 32.

Wykres funkcji f otrzymano przez przesunięcie hiperboli o równianiu y=\frac{3}{2x}. Asymptotami tego wykresu są proste x=a oraz y=b, gdzie a=log_{\sqrt{3}}(log_{\frac{1}{3}}\frac{1}{27}) oraz b=log_{2}3\cdot{}log_{3}8. Podaj wzór funkcji f i wyznacz jej miejsce zerowe.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 33.

Iloczyn liczb x i y jest o 2 większy od ich sumy. Przedstaw y jako funkcję zmiennej x. Podaj dziedzinę tej funkcji i jej zbiór wartości.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 34.

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji:
f(x)=\frac{3x+a}{x+b}

Funkcja wymierna - Teraz matura - Zestaw c - zadanie 7
a) Oblicz a i b.
b) Rozwiąż nierówność f(x)<f(x-1).

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 35.

Dana jest funkcja f(x)=2-\frac{4}{x}. Rozwiąż nierówność
\frac{f(x+1)}{f(x-1)}>0.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 36.

Naszkicuj wykres funkcji f(x)=\frac{12}{|x|+2}-3. Wyznacz wartości parametru m, równanie f(x)=m^{2} ma dwa rozwiązania.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 37.

Naszkicuj wykres funkcji f(x)=\frac{x^{3}-7x+6}{x^{2}-3x+2} oraz g(x)=\frac{|f(x)|}{f(x)} i podaj ich zbiory wartości.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 38.

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji f, który powstał w wyniku przesunięcia wykresu funkcji określonej wzorem y=\frac{1}{x} dla każdej liczby rzeczywistej x\neq0.
Wykres zad 29
a) Odczytaj z wykresu i zapisz zbiór tych wszystkich argumentów, dla których wartości funkcji f są większe od 0.
b) Podaj miejsce zerowe funkcji g określonej wzorem g(x)=f(x-3).

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 39.

Naszkicuj wykres funkcji f(x)=\frac{x^{3}-x^{2}-9x+9}{x^{2}+2x-3} i g(x)=f(x)+|f(x)|.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 40.

Wyznacz wartość parametru m, dla których równanie |x+3|=\frac{m}{m-4} ma dwa pierwiastki różnych znaków.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 41.

Wykres funkcji f(x)=\frac{8}{x} przesunięto o wektor u^{\to}=[-2,1]. Wykaż, że tak otrzymana hiperbola ma dokładnie jeden punkt wspólny z parabolą o równaniu y=x^{2}+4x+5.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 42.

Funkcja f dana jest wzorem f(x)=\frac{ax+b}{x+c}.

a) Wyznacz współczynniki a, b i c, jeśli wykres funkcji f jest symetryczny do wykresu funkcji g(x)=\frac{2x+4}{x+3} względem prostej y=2.
b) Rozwiąż równanie f(x)-g(x)=2

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 43.

Funkcja f przyporządkowuje liczbie m sumę odwrotności dwóch różnych pierwiastków równania mx^{2}-2mx+m-2=0.

a) Wyznacz dziedzinę i naszkicuj wykres funkcji f.
b) Dla jakich wartości parametru m funkcja f przyjmuje wartości większe od 4?

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 44.

Punkt P i Q o tej samej rzędnej należą do wykresu funkcji f(x)=\frac{1}{x^{2}} (rysunek obok). Punkt R należy do prostej y=-4. Wykaż, że pole trójkąta PQR jest większe lub równe 4.

wykres-trojkat

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 45.

Wykres funkcji f(x)=\frac{4}{x} i g(x)=ax^{2}-b przecinają się w punktach A i B. Punkt S (\frac{1}{2},-1) jest środkiem odcinka AB.

a) Oblicz współrzędne punktów A i B oraz współczynniki a i b
b) Z wykresów funkcji f i g odczytaj rozwiązania nierówności f(x)\ge g(x).

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 46.

Funkcja f(x)=\frac{4-\frac{2}{5}x}{\frac{1}{2}-3x} ma asymptotę poziomą y=q i asymptotę pionową x=p.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 47.

Naszkicuj w jednym układzie współrzędnych wykresy funkcji f(x)=\frac{2}{x} i g(x)=-2. Odczytaj z rysunku argumenty, dla których funkcja f przyjmuje wartości większe od wartości funkcji g.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 48.

Rozwiąż równania i pamiętaj o założeniach.

a) \frac{3x-2}{2x+1}=-2

b) \frac{3x+4}{x+2}=\frac{x+8}{x+6}

c) \frac{x^{2}-2x+7}{x+2}=2

d) \frac{2x-3}{x^{2}-4x+4}=-1

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 49.

Kąt \alpha jest ostry oraz \cos\alpha=0,5. Oblicz 1+tg^{2}\alpha.
Funkcja f określona jest wzorem f(x)=\frac{2x-a}{x-5} dla x\neq 5 oraz f(-1)=3. Oblicz współczynnik a.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 50.

Funkcja homograficzna f(x)=\frac{2x-1}{x+1}, gdzie x\neq -1, jest:

A. rosnąca w zbiorze R \  {-1}
B. malejące w zbiorze R \  {-1}
C. malejąca w każdym z przedziałów (-\infty;-1), (-1;+\infty)
D. rosnąca w każdym z przedziałów (-\infty;-1), (-1;+\infty)

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 51.

Rozwiąż równanie \frac{2x-7}{x-1}=x+1, gdzie x\neq1.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 52.

Dla jakiej wartości parametru m (m\in\Re) równanie \frac{x-2}{m}=\frac{2x-m}{x+2} ma dwa różne rozwiązania?

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 53.

Dla jakiej wartości parametru m (m\in\Re) równanie \frac{x^{2}-(2m-1)x+9-m}{2x-1}=0 ma dwa różne rozwiązania dodatnie?

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 54.

Uzasadnij, że żadna liczba całkowita nie jest rozwiązaniem równania \frac{2x+4}{x-2}=2x+1.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 55.

Na rysunku obok przedstawiono wykresy funkcji: f(x)=-\frac{6}{x}, g(x)=-\frac{2}{x} oraz h(x)=-\frac{1}{2x}:

A. Dobierz wzór do każdego wykresu.
B. Które spośród punktów: P(-\sqrt{2},\sqrt{2}), Q(-\frac{1}{2},4) i R(3\frac{1}{3},-\frac{2}{3} należą do wykresu funkcji g?
C. Podaj zbiór wartości funkcji określonej za pomocą wzoru k(x)=-\frac{6}{x}, której dziedziną jest zbiór <-3;-1>.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 56.

Do wykresu funkcji f(x)=\frac{a}{x} należy punkt P. Naszkicuj ten wykres.

A. P(4,\frac{1}{2})
B. P(-\frac{1}{9},-3)
C. P(8,-\frac{1}{2})
D. P(-\sqrt{2},\sqrt{2})

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 57.

Do wykresu funkcji f(x)=-\frac{1}{x}+q należy punkt P. Naszkicuj wykres funkcji f i podaj jej zbiór wartości.

A. P(1,4)
B. P(2,-3\frac{1}{2})
C. P(\frac{1}{4},-1)

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 58.

Na rysunku obok przedstawiono wykres funkcji f(x)=\frac{a}{x-2}+3.

A. Oblicz a.
B. Odczytaj z wykresu, dla jakich argumentów funkcja f przyjmuje wartości większe od 1.
C. Oblicz miejsce zerowe funkcji f.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 59.

Na rysunku obok przedstawiono wykres funkcji f(x)=-\frac{1}{x+1}-2. Do zbioru A należą wszystkie punkty wykresu tej funkcji, których obie współrzędne są całkowite. Zatem do zbioru A:

A. należy 1 punkt
B. należy 2 punkty
C. należy 3 punkty
D. należy 4 punkty

Zobacz rozwiązanie wideo:


 

Wejdź i odbierz koszulkę