Matematyka zadania

Ciągi

Zadanie 1.

Suma pięciu pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego jest równa 11, a jego iloraz wynosi -2. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy:

A. -1\frac{2}{31}
B. -\frac{1}{3}
C. \frac{1}{3}
D. 1

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 2.

Dany jest trójkąt opisany na okręgu o promieniu r. Długości boków tego trójkąta są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Wykaż, że jedna z wysokości trójkąta jest równa 3r.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 3.

Wyznacz współczynniki b i c wielomianu W(x)=x^{3}-7x^{2}+bx+c, jeżeli ma on trzy pierwiastki, które są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego o ilorazie q=2.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 4.

Wyznacz współczynniki b i c wielomianu W(x)=x^{3}+3x^{2}+bx+c, jeżeli ma on trzy pierwiastki, które są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego o różnicy 1.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 5.

Niech f(x)=3x^{2}+x-2. Wykaż, że ciąg b_{n}=f(n+1)-f(n) jest ciągiem arytmetycznym.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 6.

Niech a_{n}=n^{2}. Wykaż, że ciąg b_{n}=a_{(n+1)-an} jest ciągiem arytmetycznym.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 7.

Suma dziesięciu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego a_{n}, o różnicy r, jest równa 20. Oblicz najmniejszą wartość funkcji f(x)=x^{2}-m^{2}x+3m-1 oraz różnicę r, jeśli f(a_{1})=f(a_{10})=0

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 8.

Wyznacz te wartości x, dla których ciąg arytmetyczny o wyrazach:
y-x, \frac{y}{x}, xy jest malejący.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 9.

Wyznacz te wartości x, dla których ciąg arytmetyczny o wyrazach: x+y, x+2y, x^{2}+2x+2y-2 jest rosnący.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 10.

Dany jest ciąg geometryczny o początkowych wyrazach 4, 2, 1. Wśród jego wyrazów mniejszych od \frac{1}{64} największy jest wyraz o numerze:

A.6
A.8
A.9
A.10

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 11.

Suma dziesięciu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego o wyrazie ogólnym a_{n}= 3-2n jest równa.

A.-84,5
A.-80
A.84,5
A.90

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 12.

Stadion jest podzielony na sektor. Sektor A liczy 20 rzędów. W pierwszym rzędzie jest 19 miejsc, a w każdym następnym o 2 miejsca więcej niż w poprzednim. ile jest miejsc na tym stadionie.

A.247
B.266
C.760
D.950

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 13.

Ciąg geometryczny a_{n} jest określony wzorem a_{n}=5\cdot{}2^{2-n} dla n\ge1. Ilorazem tego ciągu jest liczba?

A.-2
B.-\frac{1}{2}
C.\frac{1}{2}
D.2

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 14.

Oblicz 100^{2}-99^{2}+98^{2}-97^{2}+ ... + 2^{2}-1^{2}.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 15.

Trzy różne liczby a,b,c są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, a liczby a,2b,3c są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Wyznacz iloraz ciągu geometrycznego (a,b,c).

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 16.

Ciąg (a_{n}) jest określony wzorem a_{n}=n^{2}-5 dla n\le1. Jednym z wyrazów tego ciągu jest liczba:

A. -2
B. 3
C. 4
D. 9

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 17.

Wskaż pierwszy ujemny wyraz ciagu arytmetycznego 97,84,71...

A. -1
B. -7
C. -8
D. -9

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 18.

Wykaż, że jeśli liczby a,b,c są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego to wyrażenie ab-bc-ac-b^{2} przyjmuje tylko wartości nieujemne.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 19.

Ile wyrazów ciągu a_{n}=\frac{17}{n+1} określonego dla n\ge1 jest większych od 1?

A. 14
B. 15
C. 16
D. nieskończenie wiele

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 20.

Liczby a+8, a+2, 3a-2, w podanej kolejności, są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Wynika z tego, że:

A. a=-1
B. a=-\frac{1}{2}
C. a=\frac{3}{2}
D. a=5

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 21.

W ciągu geometrycznym 8,-4,... liczba -\frac{1}{64} jest:

A. ósmym wyrazem.
B. dziewiątym wyrazem.
C. dziesiątym wyrazem.
D. jedenastym wyrazem.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 22.

Oblicz sumę wszystkich ujemnych wyrazów ciągu arytmetycznego -9,2;-8,8;-8,4; ...

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 23.

Czternasty wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 8, a różnica tego ciągu jest równa (-\frac{3}{2}). Siódmy wyraz tego ciągu jest równy

A. \frac{37}{2}
B. -\frac{37}{2}
C. -\frac{5}{2}
D. \frac{5}{2}

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 24.

Ciąg (x,2x+3,4x+3) jest geometryczny. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy

A. -4
B. 1
C. 0
D. -1

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 25.

Ciąg (a_{n}) jest określony wzorem a_{n}=2n^{2}+2n dla n\ge1. Wykaż, że suma każdych dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu jest kwadratem liczby naturalnej.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 26.

Dany jest ciąg geometryczny (a_{n}) określony wzorem a_{n}=(\frac{1}{2x-371})^{n} dla n\ge1. Wszystkie wyrazy tego ciągu są dodatnie. Wyznacz najmniejszą liczbę całkowitą x, dla której nieskończony szereg a_{1}+a_{2}+a_{3}+... jest zbieżny.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 27.

Rozwiąż równanie 3+7+11+...+x=1081. W którym lewa strona równania jest suma kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 28.

Liczby x,y,z w podanej kolejności, tworzą ciąg geometryczny. Suma tych liczb wynosi 13. Te same liczby w podanej kolejności są odpowiednio pierwszym, drugim i piątym wyrazem ciągu arytmetycznego. Wyznacz z.y oraz z

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 29.

Oblicz granicę ciągu liczbowego

lim_{x\to\infty}(5n-\sqrt{25n^{2}-3n+7})

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 30.

Rozwiąż:
(\frac{3n^{2}-2n}{3n^{2}+n-4})^{5n-7}

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 31.

Obwód trójkąta prostokątnego wynosi 300. Wyznaczyć długości boków trójkąta wiedząc, że długości tych boków tworzą ciąg arytmetyczny.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 32.

Pole prostokąta jest równe 108 cm^{2}. Oblicz długości boków prostokąta wiedząc,że długości boków oraz długość przekątnej tworzą ciąg arytmetyczny.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 33.

Oblicz sumę wszystkich liczb naturalnych mniejszych od 200 ,których reszta z dzielenia przez 7 jest równa 4.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 34.

Pierwszy wyraz ciągu geometrycznego jest równy 8, a czwarty wyraz tego ciągu jest równy (-216). Iloraz tego ciągu jest równy.

A. -\frac{224}{3}
B. -3
C. -9
D. -27

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 35.

Dla każdej liczby całkowitej dodatniej n suma n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego (a_{n}) jest określona wzorem S_{n}=2n^{2}+n. Wtedy wyraz a_{2} jest równy.

A. 3
B. 6
C. 7
D. 10

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 36.

Ciąg arytmetyczny (a_{n}) określony jest wzorem a_{n}=2016-3n, dla n\ge{}1. Oblicz sumę wszystkich dodatnich wyrazów tego ciągu.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 37.

Liczby 2,-1,-4 są trzema początkowymi wyrazami ciągu arytmetycznego (a_n), określonego dla liczb naturalnych n\ge1. Wzór ogólny tego ciągu ma postać
A. a_n=-3n+5
B. a_n=-n-3
C. a_n=-n+3
D. a_n=3n-5

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 38.

Liczby: x-2,6,12, w podanej kolejności, są trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Liczba x jest równa
A. 0
B. 2
C. 3
D. 5

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 39.

Dany jest skończony ciąg, w którym pierwszy wyraz jest równy 444 , a ostatni jest równy 653. Każdy wyraz tego ciągu, począwszy od drugiego, jest o 11 większy od wyrazu bezpośrednio go poprzedzającego. Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego ciągu.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 40.

W rosnącym ciągu geometrycznym (a_{n}) , określonym dla n ≥ 1, spełniony jest warunek a_{4}=3 \cdot a_{1} . Iloraz q tego ciągu jest równy:

A. q=\frac{1}{3}

B. q=\frac{1}{\sqrt[3]{3}}

C. q=\sqrt[3]{3}

D. q=3

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 41.

Dany jest ciąg arytmetyczny (a_{n}) o wyrazach: (-10,-6,-2,...). Czterdziesty wyraz tego ciągu jest równy:

A. 136
B. 146
C. 156
D. 166

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 42.

Ciągiem arytmetycznym jest ciąg liczb:

A. (2,4,8)
B. (9,3,1)
C. (\sqrt{3},\sqrt{2},\sqrt{1})
D. (\sqrt{4},\sqrt{1},\sqrt{0})

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 43.

Ciąg (x-3,7,14) jest geometryczny. Wówczas:

A. x=\frac{1}{2}
B. x=3
C. x=\frac{13}{2}
D. x=\frac{9}{14}

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 44.

W ciągu geometrycznym (a_{n}) o dodatnich wyrazach trzeci wyraz jest równy 6, a piąty jest równy 24. Wyznacz pierwszy wyraz i iloraz tego ciągu.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 45.

Wyznacz x tak, aby liczby 2x+1, 27, 18x+9 były w podanej kolejności początkowymi wyrazami rosnącego ciągu geometrycznego.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 46.

Liczby: x+2, 4x+1, x^{2}+8x=2 są kolejnymi wyrazami pewnego rosnącego ciągu arytmetycznego. Oblicz x.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 47.

Dany jest ciąg a_{n}=(-1)^{n+1}\cdot{}(2n-1).

a) Uzasadnij, że (a_{n}) nie jest ciągiem arytmetycznym.
b) Oblicz sumę stu jeden początkowych wyrazów ciągu (a_{n}).

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 48.

Suma n wyrazów ciągu arytmetycznego jest równa -\frac{7}{4}n+\frac{1}{4}n^{2} dla n\le1. Oblicz sumę dwudziestu początkowych wyrazów tego ciągu o numerach nieparzystych.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 49.

Dla dowolnej liczby rzeczywistej x\in(0;1)\cup(1;\infty) liczby log_{2}x, log_{m}x, log_{4}x są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Oblicz m.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 50.

Rozwiąż równanie 2^{1}\cdot{}2^{3}\cdot{}2^{5}\cdot{}...\cdot{}2^{2x-1}=64\cdot{}4^{x+1}

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 51.

Suma pięciu początkowych wyrazów ciągu geometrycznego (a_{n}) jest równa 4, a suma dziesięciu początkowych jego wyrazów wynosi 132. Oblicz sumę piętnastu początkowych wyrazów tego ciągu.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 52.

Pierwszy wyraz ciągu geometrycznego (a_{n}) jest równy 2. Ciąg (b_{n}) dany jest wzorem b_{n}=log_{2}a_{n}. Suma dziesięciu początkowych wyrazów ciągu (b_{n}) wynosi -35. Oblicz iloraz q ciągu (a_{n}).

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 53.

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny a_{n}=\frac{\sqrt{3}}{(\sqrt{3}+2)^{n}}. Oblicz sumę wszystkich wyrazów ciągu.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 54.

Dany jest ciąg arytmetyczny (a_{n}), w którym a_{11}=16 i a_{23}=40. Uzasadnij, że ciąg b_{n}=3^{a_{n}} jest ciągiem geometrycznym. Oblicz sumę trzech początkowych wyrazów ciągu (b_{n}).

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 55.

Jeremi kupił w sklepie ze słodyczami mieszankę cukierków zawierającą w stosunku 3:2:1:4 odpowiednio: krówki w cenie 16,50 zł za kilogram, cukierki owocowe w cenie 12,25 zł za kilogram, karmelki mleczne w cenie 11,90 zł za kilogram i cukierki czekoladowe w cenie 21,45 zł za kilogram. Ile Jeremi zapłacił za kilogram mieszanki?

A. 16,53
B. 17,17
C. 17,44
D. 17,71

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 56.

Suma 2+5+8+11+...+50 jest równa

A. 416
B. 442
C. 468
D. 494

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 57.

Wykaż, że jeśli liczby a, b, 2a-c są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego to liczby b^{2}, a^{2}, ac są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 58.

Pan Nowak pożyczył od brata pewną sumę pieniędzy na remont kuchni. Zobowiązał się do zwrotu pożyczki w dziesięciu ratach każda następna ma być większa od poprzedniej o 1\% pożyczonej kwoty. Oblicz wysokość pożyczki i wysokość szóstej raty: wiedząc, że ostatnia rata wyniesie 2900 zł.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 59.

Siódmy wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 16, a różnica ciągu wynosi 2. Trzecim wyrazem tego ciągu jest liczba:

A. 6
B. 8
C. 10
D. 24

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 60.

Ciągiem geometrycznym o pierwszym wyrazie równym 5 i ilorazie q=-2 jest:

A. a_{n}=-5\cdot{}2^{n}
B. a_{n}=-10^{n-1}
C. a_{n}=5(-2)^{n-1}
D. a_{n}=2\cdot{}(-5)^{n-1}

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 61.

Ciągiem arytmetycznym o różnicy 4 jest ciąg:

A. a_{n}=2n+4
B. a_{n}=3n+1
C. a_{n}=4n+3
D. a_{n}=n+4

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 62.

Dany jest ciąg geometryczny (a_{n}) o wszystkich wyrazach dodatnich. Jeśli a_{1}=5 oraz a_{3}=2a_{2}, to wzorem ogólnym tego ciągu jest:

A. a_{n}=2^{n}
B. a_{n}=5^{n}
C. a_{n}=5\cdot{}2^{n}
D. a_{n}=5\cdot{}2^{n-1}

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 63.

Wyznacz równanie prostej prostopadłej do prostej o równaniu 4x+y+1=0 i przechodzącej przez punkt P(4,3).

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 64.

Liczby: 3, b, c tworzą w podanej kolejności rosnący ciąg geometryczny. Te same liczby są w podanej kolejności pierwszym, drugim i piątym wyrażeniem ciągu arytmetycznego. Oblicz b i c.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 65.

Ciąg (a_{n}) określony jest w następujący sposób: a_{1}=5 i a_{n+1}=0,4a_{n}+n-1, jeśli n\in N. Czwarty wyraz tego ciągu jest równy:

A. 2,72
B. 2,88
C. 3,64
D. 4,28

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 66.

W ciągu geometrycznym (a_{n}) dane są: a_{2}=7, a_{5}=56. Wówczas:

A. a_{3}=28
B. a_{3}=-28
C. a_{3}=14
D. a_{3}=21

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 67.

Ciąg (24,18,x+8) jest arytmetyczny. Wtedy:

A. x=4
B. x=2
C. x=-2
D. x=-6

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 68.

Dany jest ciąg arytmetyczny (a_{n}), a suma jego n początkowych wyrazów określona jest wzorem S_{n}=2n^{2} dla n\ge1. Wyznacz wzór ogólny tego ciągu.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 69.

Oblicz iloraz nieskończonego ciągu geometrycznego (a_{n}), jeśli suma wszystkich jego wyrazów jest równa \sqrt{15}, a suma kwadratów jego wyrazów jest trzy razy mniejsza od sumy jego czwartych potęg.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 70.

Rozwiąż nierówność 2+x+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{4}+...,<-4x+8.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 71.

Dla jakich wartości parametru m równanie 1+2\cos^{2}x+4\cos^{4}x+...=m ma rozwiązania?

Zobacz rozwiązanie wideo


Zadanie 72.

Trzeci wyraz ciągu geometrycznego jest równy 2, a szósty wynosi 54. Iloraz tego ciągu jest równy:

A. \sqrt{3}
B. 2
C. 3
D. 6

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 73.

Dany jest ciąg a_{n}=\frac{n+1}{n}. Wyznacz wzór ogólny ciągu b_{n}=a_{n+1}-a_{n}. Odpowiedź podaj w najprostszej postaci.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 74.

Dany jest ciąg arytmetyczny o pierwszym wyrazie równym 1. Suma początkowych dziesięciu wyrazów tego ciągu jest czterokrotnie większa od sumy początkowych pięciu wyrazów. Sprawdź, czy suma początkowych stu wyrazów tego ciągu jest większa od 10\cdot{}2^{10}.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 75.

Ciąg (c_{n}) określony jest wzorem c_{n}=2n-6, gdzie n\in R. Wybrano pięćdziesiąt początkowych wyrazów ciągu (c_{n}), a następnie obliczono stosunek wyrazu stojącego na miejscu k, licząc od początku, do wyrazu stojącego na miejscu k, licząc do końca. Oblicz k, jeśli wiadomo, że stosunek ten wynosi \frac{4}{11}.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 76.

Liczby: x, y, 10 są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, natomiast liczby: 10, y+5, 2x kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Oblicz x i y.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 77.

Wykres ciągu (a_{n}) jest zawarty w prostej równoległej do prostej y=-2x oraz a_{10}=80. Suma ilu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa - 100?

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 78.

W ośmiowyrazowym monotonicznym ciągu geometrycznym dane są wyrazy a_{6}=3\frac{1}{3} i a_{8}=30. Oblicz medianę wyrazów tego ciągu.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 79.

Oblicz granicę ciągu \lim_{x\to\infty}\frac{3n^{2}-5n+2}{(8n+7)(n+4)}.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 80.

Oblicz \lim_{x\to\infty}\frac{-2n^{3}+3n}{(1-4n)^{3}}.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 81.

Oblicz sumę wszystkich liczb dwucyfrowych podzielnych przez 8 lub przez 11 i zapisz w postaci n+9000.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 82.

Suma wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego jest równa \frac{4}{7}, a suma wszystkich wyrazów tego ciągu o numerach parzystych wynosi \frac{4}{35}. Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 83.

Oblicz granicę \lim_{n\to\infty}(\frac{11n^{3}+6n+5}{6n^{3}+1}-\frac{2n^{2}+2n+1}{5n^{2}-4}).

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 84.

Ciąg określony jest wzorem: a_{n}=n^{2}-2n-63

A. Wyznacz wyraz a_{n-3}.
B. Określ, ile wyrazów ujemnych ma ten ciąg.
C. Który wyraz tego ciągu ma najmniejszą wartość.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 85.

Ciąg (a_{n}) jest ciągiem liczb naturalnych dwucyfrowych, które przy dzieleniu przez 5 daje resztę 2.

A. Podaj pierwszy i ostatni wyraz tego ciągu.
B. Oblicz, ile wyrazów ma ten ciąg.
C. Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego ciągu.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 86.

Wyznacz ciąg arytmetyczny, w którym:

A. a_{49}=94 i a_{34}=49
B. a_{12}-a_{8}=8 i a_{30}=12
C. a_{11}=2 i S_{11}=-5,5

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 87.

Trzy pierwiastki wielomianu W(x)=x3+px+q tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy równej 4. Oblicz współczynniki p i q.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 88.

Ciąg (a_{n}) jest określony wzorem a_{n}=\frac{(n+1)!+n!}{(n+1)!-n!} dla n\ge1. Wówczas

A. \lim_{n\to\infty}a_{n}=0
B. \lim_{n\to\infty}a_{n}=1
C. \lim_{n\to\infty}a_{n}=\infty
D. \lim_{n\to\infty}a_{n} nie istnieje

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 89.

Wykaż, że iloczyn I_{n} pierwszych n wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego (a_{n}) o wyrazach dodatnich wyraża się wzorem I_{n}=(a_{1}a_{n})^{\frac{n}{2}}.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 90.

Wyznacz wszystkie wyrazy ciągu a_{n}=\frac{3n^{2}-11n+8}{n}, n\in N które są liczbami naturalnymi.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 91.

Długość trzech krawędzi prostopadłościanu tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy r=3. Pole powierzchni całkowitej tego prostopadłościanu jest równe 132. Oblicz jego objętość.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 92.

Długości boków trójkąta prostokątnego tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy r>0. Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 93.

Oblicz cztery początkowe wyrazy ciągu (a_{n}).

A. a_{n}=\frac{1+(-1)^{n}}{n}
B. a_{n}=n^{n}
C. a_{n}=\log_{2}4^{n}

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 94.

Ile wyrazów dodatnich ma ciąg (a_{n})? Podaj największy z nich.

A. a_{n}13-3n
B. a_{n}9-n^{2}
C. a_{n}=\frac{1}{2}(2+n)(6-n)

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 95.

Które wyrazy ciągu (a_{n}) są równe zeru?

A. a_{n}=n^{2}+n-6
B. a_{n}=\frac{12n-3}{n+2}
C. a_{n}=2n^{2}-3n+1

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 96.

Wyznacz pierwszy wyraz i iloraz rosnącego ciągu geometrycznego (a_{n}), w którym:

A. a_{4}=5, 25a_{3}=16a_{5}
B. a_{2}=\sqrt{2}-1, a_{4}=\sqrt{2}+1.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 97.

Oblicz długość linii składającej się z dziesięciu połączonych półokręgów o średnicach odpowiednio: 4, 2, 1, \frac{1}{2}, ...

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 98.

Które wyrazy ciągu (a_{n}) są mniejsze od liczby m?

A. a_{n}=\frac{n}{4}+1, m=10
B. a_{n}=n^{2}-2n, m=8
C. a_{n}=n^{2}-4n, m=6

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 99.

Oblicz trzynasty wyraz ciągu arytmetycznego.

A. 0, 4, 8, 12, ...
B. 1, 1+\frac{\sqrt{2}}{2}, 1+\sqrt{2}, ...
C. 4\frac{1}{3}, 3\frac{2}{3}, 3, ...

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 100.

Czy ciąg (a_{n}) jest arytmetyczny? Odpowiedź uzasadnij.

A. a_{n}=2-2n
B. a_{n}=2+n^{2}
C. a_{n}=\frac{2n+n^{2}}{n}

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 101.

Wykaż, że ciąg a_{n}=\log_{2}(2\cdot{}3^{n}) jest ciągiem arytmetycznym. Oblicz jego pierwszy wyraz i różnicę.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 102.

Wyznacz wzór ogólny ciągu arytmetycznego (a_{n}), jeśli:

A. a_{2}=8, a_{6}=0.
B. a_{4}=-5, a_{7}=-4.
C. a_{2}=1, a_{4}=3-2\sqrt{3}.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 103.

Wyznacz pierwszy wyraz i różnicę ciągu arytmetycznego (a_{n}), jeśli:

A. a_{1}+a_{2}=11 i a_{3}+a_{4}=31
B. a_{1}+a_{3}=-2 i a_{2}\cdot{}a_{4}=-5

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 104.

Wyrazami ciągu arytmetycznego (a_{n}) są kolejne liczby naturalne, które przy dzieleniu przez 7 dają resztę 3. Oblicz dwudziesty wyraz tego ciągu jeśli a_{10}=66.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 105.

Oblicz:

A. Liczby x-4, 5, x+12 tworzą ciąg arytmetyczny. Oblicz x.
B. Liczby 6, x, y, z, 9 tworzą ciąg arytmetyczny. Oblicz x, y, z.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 106.

Lewa strona równania jest sumą kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego. Wyznacz x.

A. 2+6+10+...+x=648
B. (2-3x)+(5-3x)+...+(35-3x)=66

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 107.

Pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego (a_{n}) jest równy 16, a różnica r=-\frac{1}{2}. Oblicz sumę a_{10}+a_{11}+a_{12}+...+a_{20}.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 108.

Oblicz.

A. 3+6+9+...+96
B. 1+5+9+...+101

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 109.

Pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego (a_{n}) jest równy 3, a trzeci jest o 8 większy. Oblicz sumę piętnastu początkowych wyrazów o numerach nieparzystych.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 110.

Czy ciąg (a_{n}) jest geometryczny? Odpowiedź uzasadnij.

A. a_{n}=3n^{2}
B. a_{n}=3^{n+2}
C. a_{n}=3+2^{n}
D. a_{n}=3^{n}\cdot{}2^{n}

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 111.

Oblicz sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego (a_{n}), jeśli:

A. a_{1}=4, 2a_{5}=3a_{4}, n=5
B. a_{2}=2, a_{7}=-64, n=8

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 112.

Dany jest ciąg geometryczny (a_{n}). Oblicz a_{1}, q oraz a_{4}.

A. a_{n}=-2\cdot{}3^{n}
B. a_{n}=2^{-n}
C. a_{n}=3\cdot{}(-2)^{n}
D. a_{n}=-2^{n}

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 113.

Wyznacz wzór ogólny ciągu geometrycznego (a_{n}).

A. a_{1}=3, a_{2}=6
B. a_{3}=9, a_{4}=6

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 114.

Kredyt w wysokości 10 000 zł wraz z odsetkami należy spłacić jednorazowo po 5 latach. Co roku dolicza odsetki w wysokości 8\%. Jaką kwotę trzeba będzie spłacić?

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 115.

Na lokacie złożono 25 000 zł przy rocznej stopie procentowej 4\%. Oblicz wielkość kapitału na lokacie po upływie roku,jeżeli odsetki są kapitalizowane:

A. co pół roku,
B. co kwartał,
C. co miesiąc.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 116.

Rowerzysta w ciągu pierwszej godziny przejechał 19 km a w ciągu każdej następnej godziny odcinek o 0,8 km krótszy od pierwszego. Wiedząc, że w ciągu ostatniej godziny przejechał 15 km oblicz:

A. Ile godzin jechał rowerzysta.
B. Długość drogi jaką pokonał rowerzysta.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 117.

Kąty trójkąta o bokach a, b, c gdzie a mniejsze od b mniejsze od c tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy 15^{o}. Wykaz, że 2c=a +b\cdot{}\sqrt{2}.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 118.

Kwadraty nie mają punktów wspólnych. Długości boków tych pięciu kwadratów tworzą ciąg geometryczny o ilorazie 0,1. Długość boku największego z tych kwadratów jest równa 2. Oblicz sumę pól tych kwadratów.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 119.

Oblicz granicę ciągu (a_{n}).

E. a_{n}=3n-\sqrt{9n^{2}+n}.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 120.

Oblicz granicę ciągu (a_{n}).

C. a_{n}=\frac{(n-2)(n+3)}{2n^{2}-3n}
D. a_{n}=\frac{(1-3n)^{3}}{6n^{3}-n^{2}+n}.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 121.

Oblicz granicę ciągu (a_{n}).

A. a_{n}=\frac{12n^{2}-9n+4}{9n^{2}+6n+2}
B. a_{n}=\frac{4n^{2}+n-10}{1-3n-n^{2}}.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 122.

Oblicz granicę ciągu (a_{n}).

C. a_{n}=\frac{1-2\sqrt{n}}{\sqrt{n}-12}
D. a_{n}=\frac{1+2\sqrt{n}}{n+12}.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 123.

Oblicz granicę ciągu (a_{n}).

A. a_{n}=\frac{\sqrt{n^{2}+4n+3}{n}
B. a_{n}=\frac{6n+9}{\sqrt{3n^{2}+6n-1}.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 124.

Oblicz granicę ciągu (a_{n}).

F. a_{n}=\sqrt{4n^{2}+n}-\sqrt{4n^{2}-n}

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 125.

Oblicz granicę ciągu (a_{n}).

E. a_{n}=\frac{(2+n^{4})(1-n)}{n^{4}+n+1}
F. a_{n}=\frac{(2n^{2}+3n)(n-1)}{(n^{2}-4)(n+2)}

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 126.

Wstaw między 4 i 0 takie dwie liczby różne od zera, aby trzy pierwsze liczby tworzyły ciąg geometryczny, a ostatnie trzy ciąg arytmetyczny.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 127.

W sześciowyrazowym ciągu geometrycznym suma wyrazów o wskaźnikach nieparzystych jest równa 266, zaś o wskaźnikach parzystych jest równa 399. Wyznacz wyraz pierwszy i iloraz tego ciągu.

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 128.

Jaką liczbę należy dodać do każdej z liczb 1, 11 i 111 , aby powstałe sumy utworzyły ciąg geometryczny?

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 129.

Jeśli ciąg (a_{n}) dany jest wzorem ogólnym a_{n}=(-1)^{n}\cdot{}n, to różnica a_{5}-4a_{10} jest równa:

A. 45
B. 35
C. 15
D. -45

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 130.

Wskaż ciąg geometryczny o ilorazie -3.

A. a_{n}=-3\cdot{}2^{n}
B. a_{n}=3^{-n}
C. a_{n}=2\cdot{}(-3)^{n}
D. a_{n}=-3^{n}

Zobacz rozwiązanie wideo:


Zadanie 131.

Jeśli drugi wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 7, a piąty 25, to pierwszy wyraz tego ciągu jest równy:

A. 0
B. 1
C. 2
D. 3

Zobacz rozwiązanie wideo:


 

Wejdź i odbierz koszulkę